Mal wieder Lineare Algebra :D

Alle Untervektorräume des IR² sind entweder eindimensional oder zweidimensional. So viele Optionen gibt es da nicht mehr, wenn Du bereits ein Element vorgegeben hast.

hätte an
i) {(x,1): x e R} und
ii) {(1,y): y e R}
gedacht.

Weiterhin iii){(x,y): x,y e R}.

Wobei i) und ii) mit iii) dargestellt werden könnten.

Auf die Aufgabe gibt es 4 Punkte, also was ist der 4.? ^^

Was sind denn die Bedingungen für einen Untervektorraum? Und dann überleg dir mal, ob i) und ii) wirklich UVR sind. iii) ist trivial

Nee, nee, also das ist so nicht richtig.

Die ersten beiden Mengen sind keine Vektorräume. Ein Vektorraum muss immer die 0 enthalten. Bei Dir ist weder das gegeben, noch ist die Eigenschaft erfüllt, dass skalare Vielfache der Elemente stets wieder im VR bleiben müssen.

Das dritte, also IR² selbst ist ein Untervektorraum, das ist korrekt, und der enthält natürlich den Punkt (1, 1). Das ist auch der einzige UVR von Dimension 2, wie man sich leicht klar macht, da zwei linear unabhängige Vektoren aus dem IR² bereits den ganzen IR² aufspannen.

Also bleiben nur noch eindimensionale Untervektorräume zu finden. Wie der Name schon sagt, werden diese von einem einzigen Vektor aufgespannt. Du hast nun bereits einen Vektor ((1, 1), der ist insbesondere ungleich 0) fest gegeben. Wie viele eindimensionale Vektorräume kann es geben, die diesen Vektor enthalten?

Jetzt mach es ihm doch nicht zu einfach

Tipp am Rande: Vielleicht gibt es nicht einen Punkt pro UVR, sondern zwei ^^

einen eindimensionalen vektor (1,1) kann ich nur mit (1,1) darstellen. ich wüsste keinen anderen.

aber (1,1) ist nicht abgeschlossen bezüglich add. und mul.

Also ein Vektor ist nicht eindimensional. Ein Vektorraum heißt eindimensional, wenn er sich schreiben lässt als {µv | µ aus IR} für einen Vektor v ungleich 0, d.h. dass der Vektorraum von nur einem Vektor aufgespannt wird.

Wenn man bereits einen (von 0 verschiedenen) Vektor gegeben hat in einem solchen Vektorraum, kennt man den ganzen Raum. In diesem Fall also "<(1, 1)>" bzw. "(1, 1) · IR" bzw. "Span_IR ( (1, 1) )" [oder wie auch immer ihr das schreibt].

Eindimensionale Vektorräume im IR^n kann man sich vorstellen als Geraden durch den Ursprung. Zweidimensionale wären dann Ebenen durch den Ursprung. Damit sollte anschaulich klar werden, dass es hier nur zwei solcher UVR, nämlich genau einen eindimensionalen (also eine Gerade) und einen zweidimensionalen (= der ganze IR²).

Also die Aufgabe ist hier nicht so interessant, dass man da einen allzu interessanten Lösungsfindungsprozess erleben kann. Ich würde Dir vorschlagen, einfach nochmal die Definition des (Unter)Vektorraums genau anzusehen und Dir geometrisch klar zu machen, wie solche Räume als Teilmengen von IR, IR², IR³ aussehen.

Original von Hate4Fun
einen eindimensionalen vektor (1,1) kann ich nur mit (1,1) darstellen. ich wüsste keinen anderen.

aber (1,1) ist nicht abgeschlossen bezüglich add. und mul.

Was meinst du denn mit (1,1)? Die Menge {(1,1)} oder was?
Du musst eine Menge suchen in der (1,1) drin ist und zusätzlich muss (0,0) enthalten sein. IR² tut dies, aber vll gibt es auch noch eine andere (Teil-)Menge die das erfüllt?

Edit: Ich lasse lieber Merlinius das erklären, sonst verwirrt das noch mehr, wenn ich auch noch was schreibe.

Viel Spaß dann noch

Original von Merlinius
Also ein Vektor ist nicht eindimensional. Ein Vektorraum heißt eindimensional, wenn er sich schreiben lässt als {µv | µ aus IR} für einen Vektor v ungleich 0, d.h. dass der Vektorraum von nur einem Vektor aufgespannt wird.

Wenn man bereits einen (von 0 verschiedenen) Vektor gegeben hat in einem solchen Vektorraum, kennt man den ganzen Raum. In diesem Fall also "<(1, 1)>" bzw. "(1, 1) · IR" bzw. "Span_IR ( (1, 1) )" [oder wie auch immer ihr das schreibt].

Eindimensionale Vektorräume im IR^n kann man sich vorstellen als Geraden durch den Ursprung. Zweidimensionale wären dann Ebenen durch den Ursprung. Damit sollte anschaulich klar werden, dass es hier nur zwei solcher UVR, nämlich genau einen eindimensionalen (also eine Gerade) und einen zweidimensionalen (= der ganze IR²).

Also die Aufgabe ist hier nicht so interessant, dass man da einen allzu interessanten Lösungsfindungsprozess erleben kann. Ich würde Dir vorschlagen, einfach nochmal die Definition des (Unter)Vektorraums genau anzusehen und Dir geometrisch klar zu machen, wie solche Räume als Teilmengen von IR, IR², IR³ aussehen.

geometrisch ist es mir schon klar. aber ich hätte gedacht, dass es auch andere UVR gibt im R3, als ursprungsebenen und ursprungsgeraden.

Im IR³ gibt es "Ursprungsebenen", "-geraden" und den IR³ selbst als UVR. Sobald man einen von 0 verschiedenen Vektor vorgibt, dann spannt er ja wegen der Vektorraumeigenschaften direkt eine Gerade durch den Ursprung auf. Tut man noch einen zweiten Vektor dazu, der nicht auf der Gerade liegt, dann spannt er mit der Gerade aufgrund der Eigenschaften des VR eine Ebene auf. Tut man nun noch einen dritten Vektor hinzu, der nicht in der Ebene liegt, so hat man den ganzen IR³.

edit: ups, gibt noch den 0-Vektorraum. Ganz vergessen. Aber der spielt für diese Aufgabe ja keine Rolle.

ok. also die lösung dieser aufgabe ist einfach nur {(x,y):x,y e IR²} und {k(1,1), k e R}

Ja, genau.

Allerdings ist das nicht ganz korrekt geschrieben dort.

Schreibe entweder einfach "IR²" oder wenn es sein muss "{(a, b) | a, b \in IR}" (da war ne "²" zu viel bei Dir).

Original von Hate4Fun
ok. also die lösung dieser aufgabe ist einfach nur {(x,y):x,y e IR²} und {k(1,1), k e R}

und bei der letzten menge schreibst du ein komma statt eines doppelpunktes

gruß hans