Moin.
Kann sein das es komplett einfach ist, aber ich habe echt überhaupt keine Ahnung wie man das rechnen soll.
Ich probiers mal zu erklären. Also angenommen man hat 1000 verdeckte Karten vor sich. Von diesen 1000 sind alle unbeschriftet bis auf eine.
Die Chance das ich beim ersten Versuch die beschriftete ziehe sollte ja 1:1000 sein.
Anschließend kommt bei jedem weiteren Versuch eine neue unbeschriftete dazu.
Nach wie vielen Versuchen würde man dann theoretisch im Schnitt die beschriftete ziehen?
Kann man das überhaupt rechnen? Bin irgendwie komplett überfordert 
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Hmm, hätte auf Anhieb einfach 1/1000 + 2/1000 + ... + n/1000 = 1 gerechnet.
Da kommt dann ~44,2 raus, also zwischen Zug 44 und 45.
Kann aber auch komplett falsch liegen ♦
mir ist jetzt nicht ganz klar, was mit der gezogenen karte passiert, wird die weggeschmissen, oder kommt die wieder in die menge der karten? und liegen die karten unterscheidbar da, oder sind sie ununterscheidbar?
ohne diese beiden informationen kann man mit der aufgabe erstmal gar nix anfangen, weil ohne diese klarstellungen es 4 lösungen gibt.
Wenn man sich das ganze als Stapel vorstellt zieht man jedesmal eine Karte.
Wenn es eine unbeschriftete ist legt man die gezogene Karte wieder auf den Stapel, legt noch eine unbeschriftete hinzu, mischt den Stapel und zieht erneut.
Das wiederholt man bis man die beschriftete zieht.
Es wird also jedesmal um 1 unwahrscheinlicher das man sie zieht.
1:1000... 1:1001... 1:1002... 1:1003 etc.
Und dann ist die Frage halt, wielange man im Schnitt theoretisch braucht um die beschriftete zu ziehen.
Hoffe so versteht mans besser.
Die Wahrscheinlichkeit die beschriftete Karte beim ersten Zug zu ziehen ist 1/1000. Die W.keit die beschr. Karte beim zweiten Zug zu ziehen berechnet sich aus der W.keit die beschr. Karte beim ersten Zug nicht zu ziehen multipliziert mit der W.keit die beschr. Karte beim zweiten Zug zu ziehen, also
W.keit("beschr. Karte wird beim zweiten Zug gezogen")= 999/1000 mal 1/1001. Genauso kannst du die W.keit berechnen, die beschr. Karte genau beim n-ten Zug zu ziehen. Den Erwartungswert berechnest du dann mithilfe der Definition.
ich denke auch, dass man die wk mit der formel von nubijunk berechnet.
allerdings: ich hab jetzt mal in gnu r die wks durchsimuliert und komme zu dem schluss, dass erst mit n -> unendlich die wk 1 wird. bis 100000 kommt man nur zu ner wk von 99%.
edit: meine formel sieht doch ein wenig anders aus.
"wk bis zum n-ten zug die karte zu ziehen" = "wk die karte bis zum (n-1)-ten zug gezogen zu haben" + 1 / (1000 + n - 1 ) * ( 1 - "wk die karte bis zum (n-1)-ten zug gezogen zu haben" )
Original von Rho0
allerdings: ich hab jetzt mal in gnu r die wks durchsimuliert und komme zu dem schluss, dass erst mit n -> unendlich die wk 1 wird. bis 100000 kommt man nur zu ner wk von 99%.
Das ist doch zu erwarten, oder? 
@OP:
Original von Rho0
Nach wie vielen Versuchen würde man dann theoretisch im Schnitt die beschriftete ziehen?
Kann man das überhaupt rechnen? Bin irgendwie komplett überfordert Poker Face
Das ist nicht zu berechnen. Das wäre, als ob man fragen würde, nach welchem Wurf in einem 50/50-Münzwurf theoretisch "Kopf" fällt ... ist die Antwort 2? Kann ja nicht sein ...
Was man also nur ausrechnen kann - wie Rho0 schon dargestellt hat - ist die Wahrscheinlichkeit, jeweils nach dem n. Wurf die beschriftete Karte gezogen zu haben. Diese Wahrscheinlichkeit fängt bei 1/1000 an und nährt sich dann der 1. Sie wird die 1 aber im realen Zahlenraum nie erreichen (Grenzwert). Die Frage kann also nur lauten: nach wievielen Würfen ist die Wahrscheinlich X%, dass die beschriftete Karte gezogen wurde?
Und für X kannst du dann einen Wert eintragen, der dir hinreichend "sicher" erscheint, also z.B. 80% oder 90% oder 95%.
Meine Formel gibt ja auch die Wahrscheinlichkeit an, die beschriftete Karte genau! im n-ten Zug zu ziehen (und sie davor noch nicht gezogen zu haben).
Dies ist auch sinnvoll um anschließend den Erwartungswert zu berechnen. (Die so gebildete Summe divergiert dann allerdings, deshalb ist es auch sinnvoll die von Tackleberry alternative Frage zu betrachten.)
@nubi: ist es wirklich sinnvoll den erwartungswert berechnen zu wollen? ich mein: ich kann doch nur berechnen, wie in meiner "formel", mit welcher wk ich spätestens beim n-ten zug die karte gezogen habe, und diese wk ist kumulativ... jetzt über eine menge von kumulativen wks nen erwartungswert berechnen zu wollen kommt mir sehr spanisch vor.
aber ich bin halt angewandter mathematiker (numeriker), und als solcher ist mir die reine theorie eher egal... mir geht s um ergebnisse.
Man berechnet ja nicht den Erwartungswert über kumulative Wahrscheinlichkeiten sondern den Erwartungswert einer Zufallsvariablen (was natürlich hier mit den diskreten Einzelwahrscheinlichkeiten zusammenhängt, aber vllt hast du das auch gemeint und ich hab dich nur falsch verstanden).
Den Ansatz für den Erwartungswert kann man ja zunächst mal immer machen, man muss halt sehen ob er konvergiert oder divergiert. Die Frage nach dem Erwartungswert (oder dem Schnitt wie OP es formulierte) und die Frage wie oft man ziehen muss, um mit mind. x% Wahrscheinlichkeit mindestens einmal die Karte gezogen zu haben sind halt 2 unterschiedliche Fragen.
Zufallsexperimente mit unendlichem Erwartungswert können aber einem schon durchaus mal begegnen. Siehe z.B
[...]
@OP:
Original von Rho0
Nach wie vielen Versuchen würde man dann theoretisch im Schnitt die beschriftete ziehen?
Kann man das überhaupt rechnen? Bin irgendwie komplett überfordert Poker Face
Das ist nicht zu berechnen. Das wäre, als ob man fragen würde, nach welchem Wurf in einem 50/50-Münzwurf theoretisch "Kopf" fällt ... ist die Antwort 2? Kann ja nicht sein ...
[...]
Hier kommt für den Erwartungswert tatsächlich 2 raus, was mich aber auch grad gewundert hat.
Original von Nubijunk
Würdest du noch erläutern inwiefern dein Link hier mit diesem Thema zu tun hat?
na es tangiert Ihn doch peripher!
Original von jukeboxheroo
Original von Nubijunk
Würdest du noch erläutern inwiefern dein Link hier mit diesem Thema zu tun hat?na es tangiert Ihn doch peripher!
http://www.helpster.de/themen/tangente
Original von Nubijunk
[...]Den Ansatz für den Erwartungswert kann man ja zunächst mal immer machen, man muss halt sehen ob er konvergiert oder divergiert. Die Frage nach dem Erwartungswert (oder dem Schnitt wie OP es formulierte) und die Frage wie oft man ziehen muss, um mit mind. x% Wahrscheinlichkeit mindestens einmal die Karte gezogen zu haben sind halt 2 unterschiedliche Fragen.
[...]
Falls es wen interessiert: Hab mir den Erwartungswert hier mal mit Excel angeschaut. Konvergiert meiner Lösung nach gegen 39.95.
Selbst wenn keine weiteren Karten in den Stack kommen, hat man doch schon einen Erwartungswert um 500. Wie kann das dann bei 39,95 landen?
Ich hab das Gefühl, dass ich grad was falsch verstehe ..
edit: die Zahl 500 nehm ich mal wieder zurück 
Original von YannicH
Original von Nubijunk
[...]Den Ansatz für den Erwartungswert kann man ja zunächst mal immer machen, man muss halt sehen ob er konvergiert oder divergiert. Die Frage nach dem Erwartungswert (oder dem Schnitt wie OP es formulierte) und die Frage wie oft man ziehen muss, um mit mind. x% Wahrscheinlichkeit mindestens einmal die Karte gezogen zu haben sind halt 2 unterschiedliche Fragen.
[...]Falls es wen interessiert: Hab mir den Erwartungswert hier mal mit Excel angeschaut. Konvergiert meiner Lösung nach gegen 39.95.
und was hast du gemacht? hast du das Spiel n-mal durchsimuliert (wenn ja wie oft?) oder den Erwartungswert mit der zugehörigen Formel ausrechnen lassen?
Hab eine Datentabelle erstellt um die Wahrscheinlichkeit für 1 Zug bis zur Karte, 2 Züge bis zur Karte, 3 Züge bis zur Karte zu berechnen und dann per Summenprodukt den Erwartungswert berechnet. Ich hab es bis n=2000 gemacht, aber spätestens bei 200 Zügen ist die unbedingte Wahrscheinlichkeit so nah an null, dass kaum noch Veränderungen im Erwartungswert zu sehen sind.
Sieht ungefähr so aus:
1. Zug --> 1/1000 = 0,001
2. Zug --> 999/1000 * 2/1001 = 0,001996 (WK nicht im 1. Zug) * beschriftete Karten im 2. Zug/Gesamtkarten im 2. Zug
3. Zug --> (1-0,001-0,001996) * 3/1002 (WK nicht im 1. oder 2. Zug) * beschriftete Karten im 3. Zug/Gesamtkarten im 3. Zug
usw.
Bevor die Frage kommt: Ja, die Summe der so berechneten Wahrscheinlichkeiten strebt gegen 1.
es wird aber immer eine unbeschriftete Karte dazugelegt, dh. für den
2. Zug --> 999/1000 * 1/1001 = 0,001996 (WK nicht im 1. Zug) * beschriftete Karten im 2. Zug/Gesamtkarten im 2. Zug
genauso für alle weiteren Züge.
Ich hab für die Wahrscheinlichkeit W(n), dass man die beschr. Karte genau im n-ten Zug erwischt
W(n)=999/[(n+998)*(n+999)]
Entsprechend für den Erwartungswert E
E=n*W(n) summiert von n=1 bis unendlich.