Matheaufgabe

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Original von Nubijunk
Ich hab für die Wahrscheinlichkeit W(n), dass man die beschr. Karte genau im n-ten Zug erwischt
W(n)=999/[(n+998)*(n+999)]

Entsprechend für den Erwartungswert E

E=n*W(n) summiert von n=1 bis unendlich.

Das kommt mir komisch vor, wie sähe denn diese Formel aus, wenn wir nicht mit 1.000 Karten, sondern mit 2 starten würden?!

Und, was wollte OP überhaupt wissen? Dass wir die Karte genau im n-ten Zug ziehen, oder, dass wir sie irgendwann bis zum n-ten Zug ziehen?

Im letztgenannten Fall dürfen wir nicht die Einzelwahrscheinlichkeiten addieren!! Wir müssen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass bis zum n-ten Zug keine beschriftete Karte gezogen wurde und diesen Wert dann von 1 abziehen.

EDIT: Wenn ich das tue, komme ich für die Chance, dass wir bis zum n-ten Zug keine beschriftete Karte gezogen haben, auf genau die gleiche Wahrscheinlichkeit, wie, dass wir die Karte genau im n-ten Zug ziehen!

Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit, die Karte bis zum n-ten Zug gezogen zu haben ist identisch mit der Wahrscheinlichkeit, sie genau im n-ten Zug nicht zu ziehen. Logischerweise konvergiert dieser Wert gegen 1.

Habe ich einen Denkfehler - oder kann das jemand bestätigen?

Original von Tackleberry

Original von Nubijunk
Ich hab für die Wahrscheinlichkeit W(n), dass man die beschr. Karte genau im n-ten Zug erwischt
W(n)=999/[(n+998)*(n+999)]

Entsprechend für den Erwartungswert E

E=n*W(n) summiert von n=1 bis unendlich.

Das kommt mir komisch vor, wie sähe denn diese Formel aus, wenn wir nicht mit 1.000 Karten, sondern mit 2 starten würden?!

In diesem Fall: W(n)=1/[n*(n+1)] (W.keit, dass man die beschr. Karte genau im n-ten Zug erwischt.)

Und, was wollte OP überhaupt wissen? Dass wir die Karte genau im n-ten Zug ziehen, oder, dass wir sie irgendwann bis zum n-ten Zug ziehen?

OP wollte wissen, wann man die Karte im Durchschnitt zieht. Deswegen auch die Rechnung mit dem Erwartungswert.

Im letztgenannten Fall dürfen wir nicht die Einzelwahrscheinlichkeiten addieren!! Wir müssen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass bis zum n-ten Zug keine beschriftete Karte gezogen wurde und diesen Wert dann von 1 abziehen.

Der zweite Satz ist richtig, man kann aber auch über die Einzelwahrscheinlichkeiten argumentieren.

EDIT: Wenn ich das tue, komme ich für die Chance, dass wir bis zum n-ten Zug keine beschriftete Karte gezogen haben, auf genau die gleiche Wahrscheinlichkeit, wie, dass wir die Karte genau im n-ten Zug ziehen!

Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit, die Karte bis zum n-ten Zug gezogen zu haben ist identisch mit der Wahrscheinlichkeit, sie genau im n-ten Zug nicht zu ziehen. Logischerweise konvergiert dieser Wert gegen 1.

Habe ich einen Denkfehler - oder kann das jemand bestätigen?

Glaub du hast hier einen Denkfehler. Wenn du z.B. für n=3 argumentierst, ist die W.keit gering, die beschriftete Karte im ersten, zweiten oder dritten Zug zu ziehen (nämlich 3/1002). Die W.keit aber die Karte genau im dritten Zug nicht zu ziehen ist sehr groß (über 99,9%)

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ich hatte tatsächlich im ersten post überlesen, dass eine unbeschriebene karte dazu kommt. Mein fehler bzw. falsch aus dem zweiten post übernommen. Hab es in dem Fall nochmal simuliert mit Matlab für bis zu 200,000 Züge und der Erwartungswert konvergiert nicht. Falls es irgendwer nachvollziehen will (ich weiß, ganz schlampig hinprogrammiert):

n=200000;

a=[1:n];
b=[1:n];
b(1)=1/1000;
for i = 2:n
    b(i)=(1-sum(b(1:i-1)))*1/(i+999);
end    

ev_cont=a.*b;
ev=[1:n];
ev(1)=ev_cont(1);

for i =2:n
    ev(i)=ev(i-1)+ev_cont(i);
end

figure;
plot(a,ev)

figure;
plot(a,ev_cont)

@Tackleberry: Folgende Aussage von dir stimmt mMn auch nicht:

EDIT: Wenn ich das tue, komme ich für die Chance, dass wir bis zum n-ten Zug keine beschriftete Karte gezogen haben, auf genau die gleiche Wahrscheinlichkeit, wie, dass wir die Karte genau im n-ten Zug ziehen!

Es gilt nämlich mit bedingter Wahrscheinlichkeit: P(Karte genau im n-ten Zug) = P(bis zum n-ten Zug Karte nicht gezogen) * P(Karte im n-ten Zug | bis zum n-ten Zug Karte nicht gezogen)

Wenn wie du sagst P(Karte genau im n-ten Zug) = P(bis zum n-ten Zug Karte nicht gezogen), muss gelten: P(Karte im n-ten Zug | bis zum n-ten Zug Karte nicht gezogen) = 1 oder anders ausgedrückt: Wenn ich bis Zug n die Karte noch nicht gezogen habe, dann MUSS sie beim nächsten Zug kommen. Das ist insbesondere aufgrund der steigenden Anzahl unbeschriebener Karten aber nicht richtig. Von daher kann deine Ausgangshypothese nicht richtig sein.

Ich habe vermutlich gerade einfach einen kapitales Brett vor dem Kopf. Aber ich kann das darauf schieben, dass ich total erkältet bin und kaum geradeaus denken kann, also überlasse ich euch das Denken. ♦

Hier ist meine "Rechnung" - starten wir mit einem 2-Karten-Deck:

P(1) = 1/2

=> Die Wahrscheinlichkeit, die Karte im ersten Zug zu ziehen, beträgt 50%, genau wie die Wahrscheinlichkeit, sie nicht zu zu ziehen: 1 - P(1) = 1/2

Nun legen wir eine weitere Karte dazu:

P(2) = 1/3

=> Die isolierte Wahrscheinlichkeit, die Karte im zweiten Zug zu ziehen, beträgt 33.3%. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, sie weder im ersten, noch im zweiten Zug zu ziehen?

=> P(#2|#1) = 1/2 * (1 - 1/3) = 1/3

Wo ist mein Fehler? Die erste Formel sollte doch stimmen, 3 Karten im Deck, eine beschriftet, also P = 1/3. Wo ist der Fehler in der zweiten Formel? Die Wahrscheinlichkeit, die Karte in zwei Zügen nicht zu ziehen ist doch P(Karte im ersten Zug nicht gezogen) * P(Karten im zweiten Zug nicht gezogen).

P(#1) ist 1/2, P(#2) ist 2/3, also ist P(#1|#2) = 1/2 * 2/3 = 1/3.

HILFE!!!!!!!!!!

Ok ich poste nochmal drunter, damit das nicht untergeht. Hab wohl zu lang zum editieren gebraucht

Man kann recht einfach die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die ersten k Züge in Folge nicht die richtige Karte sind:

Die Wahrscheinlichkeit genau bei Zug k das erste Mal die richtige zu Treffen ist entsprechend

Der Erwartungswert ist unendlich:

"Im Durchschnitt" braucht man also unendlich viele Züge, bis man die richtige zieht.

Original von Tackleberry
Nun legen wir eine weitere Karte dazu:

P(2) = 1/3

=> Die isolierte Wahrscheinlichkeit, die Karte im zweiten Zug zu ziehen, beträgt 33.3%. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, sie weder im ersten, noch im zweiten Zug zu ziehen?

Falsch: Die Wahrscheinlichkeit, die Karte genau im zweiten Zug zu ziehen setzt voraus, dass du sie im ersten Zug nicht gezogen hast: deshalb P(2)=1/2*1/3 = 1/6. Vielleicht verstehe ich aber auch deine Interpretation von "isolierter" Wahrscheinlichkeit falsch, hab den Begriff noch nie in dem Kontext gehört.

=> P(#2|#1) = 1/2 * (1 - 1/3) = 1/3

Wo ist mein Fehler? Die erste Formel sollte doch stimmen, 3 Karten im Deck, eine beschriftet, also P = 1/3. Wo ist der Fehler in der zweiten Formel? Die Wahrscheinlichkeit, die Karte in zwei Zügen nicht zu ziehen ist doch P(Karte im ersten Zug nicht gezogen) * P(Karten im zweiten Zug nicht gezogen).

P(#1) ist 1/2, P(#2) ist 2/3, also ist P(#1|#2) = 1/2 * 2/3 = 1/3.

Das stimmt soweit und führt zum gleichen Ergebnis. Deine Berechnungen sind inkonsistent:

Du sagst P(1)= 1/2 --> korrekt
P (weder 1 noch 2) = 1/3 --> korrekt
Da P(1)+P(2)+P(weder 1 noch 2)=1 sein muss, muss gelten P(2)=1-1/3-1/2=1/6

HILFE!!!!!!!!!!

@ NAGLER: Was für ein Reihengesetz nutzt du um von dem Multiplikatorausdruck auf 999/(k+999) zu kommen? Kenne mich damit nicht so aus. Aber gebe dir wie gesagt ohnehin recht, was die Lösung angeht (nur halt simuliert und nicht so hübsch hergeleitet).

Original von YannicH
@ NAGLER: Was für ein Reihengesetz nutzt du um von dem Multiplikatorausdruck auf 999/(k+999) zu kommen? Kenne mich damit nicht so aus. Aber gebe dir wie gesagt ohnehin recht, was die Lösung angeht (nur halt simuliert und nicht so hübsch hergeleitet).

Der Nenner eines Terms kürzt sich immer mit dem Zähler des darauffolgenden Terms, bis nur noch der erste Zähler und der letzte Nenner stehen bleiben. Sieht man ganz leicht, wenn man die ersten paar Terme ausschreibt.

OK, dann stimmt es ja doch? Mit "isolierter" Wahrscheinlichkeit meinte ich, dass wir einfach so tun, als ob wir zum ersten Mal ziehen. Wir ignorieren also die Wahrscheinlichkeit, dass wir im ersten Zug daneben lagen und stellen die Uhr wieder auf Null. Dann ist die Chance im zweiten Zug = 1/3, im vierten Zug 1/4 usw.

Und offenbar ist das auch genau die Chance, in keinem der Züge die beschriftete Karte zu ziehen, agree?

Da die Chance, die Karte bis zum x.-ten Zug gezogen zu haben, 1 - P(nie gezogen) entspricht, können wir das also abkürzen und einfach die Wahrscheinlichkeit, dass wir die Karte genau jetzt ziehen, von 1 abziehen - und erhalten die Wahrscheinlichkeit, die Karte irgendwann auf dem Weg gezogen zu haben ... korrekt?!

Damit wäre P(Karte bis zum 4. Durchgang gezogen) = 1 - P(4) = 75%.

Die Wahrscheinlichkeit, die du ansprichst, also P(Karte im ersten nicht, aber im zweiten gezogen), ist für mich eigentlich nicht relevant. Die dazu passende Frage wäre ja "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir mit 2 Karten starten und die beschriftete Karte erst im 10. Durchgang ziehen?", die Wahrscheinlichkeit muss offensichtlich immer geringer werden, wohingegen die Wahrscheinlichkeit, die Karte nach "spätestens x Versuchen zu ziehen kontinuierlich ansteigt. Einverstanden?