Hab ein bisschen Probleme mit einer Aufgabe, die sich mit Mengenlehre beschäftigt:
Man soll immer sagen, was wahr und was falsch ist:
(das "e" heißt "element von 
1. ∅ e 2^M
2. ∅ 
2^M
(sollte wahr sein, weil ∅ eine Teilmenge jeder Menge ist.)
3. M e 2^M
(2^M = {{∅}, {m1}, {m1,m2} , ... , M}. also wahr?)
4. M 2^M
(das ist eigentlich auch wahr, wenn M ein Element ist, dann auch eine Teilmenge, richtig)?
die letzten beiden verwirren mich komplett
5. {∅} e 2^∅
6. {∅} 2^∅
Ich check deine Notation nicht.
Was bedeutet 2^M ist hier die Potenzmenge nehme ich wohl an?
1) w
2) w
Deine Begründung gilt hier für beide.
3) w
4) w
Deine Begründung auch richtig in beiden Fällen.
zu 5+6)
2^0 = {0}.
Kannst nun selber überlegen was das genau heißt 
Ich nehme an, 2^M soll die Potenzmenge darstellen. Diese besteht ja bekanntlich genau aus den Teilmengen von M.
Da Du richtig erkannt hast, dass ∅ Teilmenge jeder Menge ist, also insb. sowohl von M als auch 2^M, sind 1. und 2. korrekt.
3. Da M Teilmenge M (Definition der Teilmenge beachten), ist nach Definition auch M e 2^M.
Die Aufzählung der Elemente von 2^M ist allerdings nicht ganz korrekt. {∅} muss nicht in 2^M sein, denn "{∅} Teilmenge M" muss nicht gelten. Wieder die Definition des Begriffs "Teilmenge" beachten.
4. Hier auch die Definition des Begriffs "Teilmenge" beachten. M C 2^M bedeutet, dass jedes Element aus M auch in 2^M ist. Ist das der Fall? Wie sieht etwa die Potenzmenge von N = {1, 2} aus? Ist jedes Element von N auch in 2^N?
5. & 6. Wie sieht denn die Potenzmenge von ∅ aus?
@pokhan: ist nicht 100%ig korrekt
Original von Merlinius
Die Aufzählung der Elemente von 2^M ist allerdings nicht ganz korrekt. {∅} muss nicht in 2^M sein, denn "{∅} Teilmenge M" muss nicht gelten. Wieder die Definition des Begriffs "Teilmenge" beachten.
3 >= 2 ist immer noch eine Richtige Aussage, obwohl 3 niemals = 2 sein kann. Genauso ists bei 3)&4) auch.
Ich versteh nicht, was Du mir damit sagen möchtest.
Schreib mal die Potenzmenge von {1, 2} auf. Ist da das Element {∅} enthalten?
Achso ich dachte du meintest die Aussage wäre falsch
Ja die Aufzählung ist von der Notation nicht 100% sauber:
2^M = {∅, {m1}, {m1,m2} , ... , {M}}.
Edit: Und eigentlich muss man auch den Sonderfall, dass M = ∅ ist seperat betrachten, total übersehen ♠_biggrin:
Sie ist nicht "nicht 100% sauber", sondern falsch. Denn ∅ ungleich {∅}.
Das:
2^M = {∅, {m1}, {m1,m2} , ... , {M}}.
Ist übrigens ebenfalls falsch.
Es muss:
2^M = {∅, {m1}, {m1,m2} , ... , M}
heißen.
[Diese Notation setzt natürlich voraus, dass die Menge M endlich ist.]
Original von Merlinius
Sie ist nicht "nicht 100% sauber", sondern falsch. Denn ∅ ungleich {∅}.
Ich definiere "nicht ganz sauber = nicht ganz richtig" bist du nun zufrieden?
ok für die aufgaben e) und f) heißt das dann:
2^∅={∅}
wobei {∅} kein element und auch keine teilmenge ist, sonst müsste dort stehen 2^∅= {{∅}}. (was aber nicht richtig ist, weil ∅ das richtige element ist und nicht {∅}.
Nicht ganz. Überleg nochmal, was eine Teilmenge ist. Ich glaube, Du hast den Begriff noch nicht ganz verinnerlicht.
für alle a aus menge A gilt, dass sie element von Menge B sind. dann ist A eine teilmenge von B.
Alle Elemente aus aus {∅} ist ∅. ist also die echte Teilmenge von 2^∅?
wenn wir aber die Teilmenge so definieren, dass 
heißt für Alle a aus A, a e B. dann heißt es für aufgabe 2. dass ∅ keine Elemente besitzt. und damit ist aussage 2 falsch
Nein, Aussage 2 ist richtig. Die Definition der Teilmenge verlangt nicht, dass A Elemente hat. Nur wenn sie welche hätte, müssten diese auch in B sein. Daher ∅ Teilmenge jeder Menge.
Es gibt eigentlich nicht "die echte Teilmenge". {∅} = 2^∅ = {∅}. Somit ist {∅} Teilmenge von 2^∅.
Schau Dir auch nochmal Fragestellung 4 an. Wie ist die Antwort auf diese?
naja jedes element m1 m2 m3 usw. ist in der menge 2^M zu finden, weil 2^M ja alle Teilmengen enthält und somit auch m1, m2 usw.
Stimmt nicht.
Wie ist die Potenzmenge von {1, 2}? Enthält diese Menge das Element 1?
Fast
2^{1,2} = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}
Diese Menge hat genau vier Elemente, nämlich
∅, {1}, {2}, {1, 2}
Keines davon entspricht dem Element 1 e {1, 2} oder auch 2 e {1, 2}. Folglich sind nicht alle Elemente von {1, 2} in 2^{1, 2} enthalten. Folglich ist {1, 2} keine Teilmenge von 2^{1, 2}.
Und dies nun übertragen auf Behauptung 4.
Es ist am Anfang etwas tricky mit den Begriffen Element, Teilmenge, Potenzmenge, {a} vs. a...
Original von maechtigerHarry
Seh ich das richtig das 2^∅ = {∅ , {∅ }} ist?
Nein, das ist nicht korrekt. Es ist zwar:
2^{∅} = {∅, {∅}},
aber 2^∅ = {∅}
Schließlich enthält ∅ null Elemente, also insbesondere ist nicht ∅ in ∅. Also ist {∅} keine Teilmenge von ∅, also ist es auch nicht in der Potenzmenge.
Die Potenzmenge einer n-elementigen Menge M besitzt ihrerseits immer 2^n Elemente. Das gilt auch für M = ∅. Diese besitzt 0 Elemente, also besitzt ihre Potenzmenge ein Element. {∅} hat ein Element, also hat ihre Potenzmenge 2^1 = 2 Elemente.
