Ich hab hier mehrere Fragen.
D) => A), da nur eine Antwort richtig ist, kann also d) nicht richtig sein. Oder gilt nicht "fast"^^ sogar A) <=> d) ?
Ich habe die Antwort in der Klausur falsch beantwortet, anscheinend war mein 5% Interval falsch berechnet. Was ist richtig?
Richtig ist, dass nach der Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeit für nur 42 mal Kopf bei 2,2% liegt. Somit ist b) richtig.
d) ist eigentlich "nie" richtig. Dafür müsste die samplesize so klein sein, dass sogar das Ereignis nur Zahl größer als 5% ist, also z.B. n=4, also P(ZZZZ) = 1/16 > 0.05
c) ist nur da weil noch eine Option gefehlt hat, kann nicht auf einmal alternative hypo geben
d) => a) stimmt kein bisschen
d) koennte auch heissen: "We cannot reject or accept the Null-hypo". Bei zu wenig sample kannst du weder accept noch rejecten. Du hast einfach keine info.
a) oder b) musste rechnen. Da weiss ich nicht ob du eine underlying distribution der coins annehmen kannst (zB es gibt 1% coins die 100% heads sind und 99% fair, dann ist der hier ziemlich sicher >95% fair). Wenn du das nicht hast, kannst du de facto gar nichts aussagen.. aber gut.
Vermutlich wie YoBaby sagt, einfach 100C42*0.5^100*2 = 4.46% < 5%, also 95%+ sicher dass Null-Hyp falsch ist. 4.46% nicht 2.23% weil 42 Heads und 58 Heads das gleiche sind. Oder? Glaub schon.
Aber das ist an sich ne total sinnlose Angabe.. falls der coin fair ist, sehen wir dieses result weniger als 5%. Dh aber noch lange nicht, dass wir, wenn wir dieses result sehen, zu 95%+ keinen fairen coin haben! Das geht nur mit underlying distribution.
(Alles ohne Gewaehr, kann auch nonsense sein.)
4,46% stimmt (bzw. die Wahrscheinlichkeit für 42 mal heads darf nicht höher als 2,5% sein), da es ein zweiseitiger Test ist und sowohl Abweichungen nach oben (zu viel heads) als auch nach unten (zu viel tails) möglich sind.
die "underlying distribution" von der ausgegangen wird ist die binomialverteilung. falls die münze der binomialverteilung mit p = 0.5 entspricht, kommt ein ergebnis wie das vorliegende nur zu rund 2,2% vor. da das sehr unwahrscheinlich ist, schließen wir daraus, dass die münze nicht der angegebenen verteilung entspricht, sprich p != 0.5.
Geil wie alle auf meinen Fehler einsteigen 
Ich hab natürlich einen ganz peinlichen Fehler gemacht, und ich bin mir doch recht sicher, dass man die Nullhypothese nicht verwerfen kann.
Die Nullhypothese ist ja
H_0: p = 0.5
Diese Hypothese muss verworfen werden, falls eine Stichprobe (100 mal werfen) ein Ergebnis ergibt, welches nur sehr unwahrscheinlich wäre, wenn die Münze fair wäre. Es handelt sich um einen zweiseitigen Test, das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit für 42 oder weniger Köpfe muss kleiner als 2.5% sein.
Die Wahrscheinlichkeit die ich ausgerechnet hab ist nur die Wahrscheinlichkeit, dass genau 42 Köpfe geworfen wurden. Das ist aber völlig belanglos. Man stelle sich vor, man wirft eine Million mal, dann wird es auch für eine faire Münze sehr unwahrscheinlich sein, genau 500000 mal Kopf zu zeigen.
Für die Aufgabe heißt das, dass b) auf jedenfall falsch ist. c) ist auch falsch, da man nicht die Alternativhypothese prüft. a) ist meiner Meinung nach nicht korrekt, da man Nullhypothesen nicht akzeptieren sondern nur verwerfen kann. Man stellt sie ja in der Regel Absichtlich so, dass sie verworfen werden muss. Insofern denke ich wohl, dass d) die korrekte Antwort ist, auch wenn ich die Lösung etwas unglücklich formuliert finde. Gemeint ist wohl, wäre die Samplesize 1000, und es wären nur 420 Köpfe gekommen, hätte man wohl verwerfen können. So wies dasteht, ist die Lösung aber auch nicht ganz richtig, da das kein Problem von der samplesize an sich ist.
hmm also ich würd sagen d ist richtig.
kann mal einer bitte sehr das Konfidenzintervall von 95% aufscheiben ??
Also so nach dem Motto: In 95 % der Fälle werden zwischen bembel und bimbel mal Kopf geworfen.
Es gibt hier wohl 2 verschiedene Ansätze.
1x kann man berechnen wie wahrscheinlich es ist dass P(X<42) ist, hier müsste man dann 1- P(42) + P(41) + P(40) .. dies sollte schnelle einen EIndruck vermitteln ob wir H0 ablehnen können. Denn P(30) oder so sollte ja ziemlich nah bei 0 sein.
Die zweite Möglichkeit, mit der ich es in der Klausur versucht habe sieht so aus:
Man schätzt die Varianz: Wie war das 0,42*0,58.. oder so
Und rechnet dann mit der Varianz und der Normalverteilungstabelle nach, wie das 95% Konfidenzinterval aussieht.
Ich bin leider zu faul das nochmal nachzurechnen. Jedoch verwirrte mich d) auch, hatte auch iwie das Gefühl was soll das mit Sample zu tun haben und dann a) gewählt, wobei ich mir unsicher bin, ob ich wirklich a) gewählt habe. haha
Sei X die Anzahl der geworfenen Köpfe, dann ist
P(X <= 39) = 1,7%
P(X<= 40) = 2,8%
P(40 <= X <=60) = 96,4%
Das mit der Normalverteilung ist btw wohl wirklich auch so gemeint gewesen, da die meisten Taschenrechner ja die Zähldichte der Binomialverteilung bei n=100 nicht mehr ausrechnen können (wegen 100!).
Ich würde wie gesagt zu d) tendieren, wobei ich die Lösung für auch nicht wirklich richtig halte und im Zweifelsfall ist sie wohl auch angreifbar. Hat vermutlich kein Mathematiker gestellt die Aufgabe, evtl. ein Ingenieur?
Hab jetzt nie gross Statistik oder so gehabt, aber es sieht Yobabys Rechnung so aus als Wäre der erhaltene Wert von 43 einer den man durchaus erwarten könnte.
Habs mal in Excel ausgerechnet und muss mich korrigieren:
P(x<=42)=6,66%, Nullhypothese kann also auf keinen Fall abgelehnt werden. Antwort D ist also imo richtig, ist aber missverständlich formuliert. Wenn man es so versteht, dass es bei 42% heads, darum geht die Nullhypothese abzulehnen muss die sample size größer als 100 sein. bei 100.000 würfen und 42.000 mal heads werden wir die nullhypothese wohl verwerfen können.
A wird wohl deshalb falsch sein, weil man dadurch dass keine Hypothese abgelehnt wurde keine Rückschlüsse ziehen kann, das geht statistisch immer nur durch die Abhlehnung einer Hypothese und einer damit einhergehenden Annahme der Alternativhypothese, die sämtliche anderen möglichen Zustände enthält.
Wie lange war denn die Bearbeitungszeit für die Aufgabe? Da muss man ja einiges rechnen (17 Wahrscheinlichkeiten: 1-[P(x=43)+...+P(x=57)]=13,32%>5%). Wobei P(x=42)+P(x=41) ist schon > 2,5%, da wüsste man es auch schon.
Konfidenzintervall
[µ - 1,96 * σ ; µ + 1,96 * σ]
1,96 ist der z-Wert für ein Niveau von 95%
µ = 100 * 0,5 = 50 [Erwartungswert]
σ = sqr(n * p * (1-p)) = sqr(100 * 0,5 * (1 - 0,5)) = sqr(25) = 5 [Standartabweichung]
Intervall also:
[50 - 1,96 * 5 ; 50 + 1,96 * 5]
[40,2 ; 59,8]
42 liegt im Intervall, somit ist H0 nicht abzulehnen. (Wir akzeptieren H0 aber nicht sondern verwerfen sie nur nicht)
Original von Paleiko
Konfidenzintervall[µ - 1,96 * σ ; µ + 1,96 * σ]
1,96 ist der z-Wert für ein Niveau von 95%
µ = 100 * 0,5 = 50 [Erwartungswert]
σ = sqr(n * p * (1-p)) = sqr(100 * 0,5 * (1 - 0,5)) = sqr(25) = 5 [Standartabweichung]
Intervall also:
[50 - 1,96 * 5 ; 50 + 1,96 * 5]
[40,2 ; 59,8]
42 liegt im Intervall, somit ist H0 nicht abzulehnen. (Wir akzeptieren H0 aber nicht sondern verwerfen sie nur nicht)
Das ist aber imo nur eine Approximation, oder? Bzw. muss es ja sein, da in der Realität keine nicht ganzzahligen Werte resultieren können.
Original von Funkmaster
Das ist aber imo nur eine Approximation, oder? Bzw. muss es ja sein, da in der Realität keine nicht ganzzahligen Werte resultieren können.
Das ist keine Approximation. Das Konfidenzintervall gibt einen Bereich an der zu 95% bei einer Zufallsstichprobe mit dem Erwartungswert 50 und Standardabweichung 5 erreicht wird, sofern die Münze "fair" ist.
Dass das Intervall nicht ganzzahlig ist ändert nichts. Entweder haben wir 40 mal Kopf dann ist es draußen (H0 verworfen) oder 41 dann ist es im Intervall und H0 wird nicht verworfen.
Original von Paleiko
Konfidenzintervall[µ - 1,96 * σ ; µ + 1,96 * σ]
1,96 ist der z-Wert für ein Niveau von 95%
µ = 100 * 0,5 = 50 [Erwartungswert]
σ = sqr(n * p * (1-p)) = sqr(100 * 0,5 * (1 - 0,5)) = sqr(25) = 5 [Standartabweichung]
Intervall also:
[50 - 1,96 * 5 ; 50 + 1,96 * 5]
[40,2 ; 59,8]
42 liegt im Intervall, somit ist H0 nicht abzulehnen. (Wir akzeptieren H0 aber nicht sondern verwerfen sie nur nicht)
Yeah! Ja das war verlangt. Bearbeitungszeit war 5 Minuten.
Original von Paleiko
Original von Funkmaster
Das ist aber imo nur eine Approximation, oder? Bzw. muss es ja sein, da in der Realität keine nicht ganzzahligen Werte resultieren können.Das ist keine Approximation. Das Konfidenzintervall gibt einen Bereich an der zu 95% bei einer Zufallsstichprobe mit dem Erwartungswert 50 und Standardabweichung 5 erreicht wird, sofern die Münze "fair" ist.
Dass das Intervall nicht ganzzahlig ist ändert nichts. Entweder haben wir 40 mal Kopf dann ist es draußen (H0 verworfen) oder 41 dann ist es im Intervall und H0 wird nicht verworfen.
Klar ist es eine Approximation, die Resultate des Münzwurfs sind binomial- und nicht normalverteilt (imo eben wegen der "Diskretheit"). Wir approximieren diese Binomialverteilung mit der stetigen Normalverteilung. Bei zu kleinen n funktioniert das immer schlechter.
Im vorliegenden Fall lehnst du die Hypothese ab wenn X<=40 oder X>=60. Die Wahrscheinlichkeit hierfür liegt bei 5,69% (siehe meine Exceltabelle), das heißt du bist hier schon 0,69% über dem Signifikanzniveau mit deinem Ablehnungsbereich.
Original von Funkmaster
Original von Paleiko
Original von Funkmaster
Das ist aber imo nur eine Approximation, oder? Bzw. muss es ja sein, da in der Realität keine nicht ganzzahligen Werte resultieren können.Das ist keine Approximation. Das Konfidenzintervall gibt einen Bereich an der zu 95% bei einer Zufallsstichprobe mit dem Erwartungswert 50 und Standardabweichung 5 erreicht wird, sofern die Münze "fair" ist.
Dass das Intervall nicht ganzzahlig ist ändert nichts. Entweder haben wir 40 mal Kopf dann ist es draußen (H0 verworfen) oder 41 dann ist es im Intervall und H0 wird nicht verworfen.
Klar ist es eine Approximation, die Resultate des Münzwurfs sind binomial- und nicht normalverteilt (imo eben wegen der "Diskretheit"). Wir approximieren diese Binomialverteilung mit der stetigen Normalverteilung. Bei zu kleinen n funktioniert das immer schlechter.
Im vorliegenden Fall lehnst du die Hypothese ab wenn X<=40 oder X>=60. Die Wahrscheinlichkeit hierfür liegt bei 5,69% (siehe meine Exceltabelle), das heißt du bist hier schon 0,69% über dem Signifikanzniveau mit deinem Ablehnungsbereich.
Entschuldigung, du hast natürlich recht. Hatte das nicht richtig verstanden. Ja wir approximieren hier die binomialverteilung als normalverteilung, was wir aber bei einem N * p > 5 verwenden können.
Ändert jetzt nichts am Ergebnis aber sollte man für die Logik dahinter im Kopf behalten 
Wir lehnen die H0 nicht ab, der p- value beträgt 0.1332> 0.05.
Ausgerechnet mit dem exact binomial test.
Imo funktioniert das hier mit der Normalverteilung weil unsere zu überprüfende Wkeit mit 50% sehr mittig liegt zwischen 0 und 1. Sonst brauch man ganz schnell wesentlich größere Stichproben.
Dann bietet sich eben exact binomial test oder die poisson verteilung an.
Download (statistik.xlsx)