hab hier eine Funktion:
M(t) = int_0^t exp(-(t-u)) dS(u) / S(u)
wobei dS(u) / S(u) = mu dt + sigma dW(t), also Standard Brownsche Bewegung.
jetzt will ich dM(t) bilden, dazu brauch ich meiner Meinung nicht mal Ito, sondern einfach nur klassisches Calculus:
dM(t) = dS(t) / S(t) * dt - int_0^t exp(-(t-u)) dS(u) / S(u) * dt
ist aber irgendwie falsch, die Lösung sollte sein:
dM(t) = dS(t) / S(t) - int_0^t exp(-(t-u)) dS(u) / S(u) * dt
und ich checke nicht ganz, wieso das eine dt da verschwindet?
OT:
Bist du nicht BWLer? Was arbeitest du, dass du ständig mit stochastischen Prozessen konfrontiert bist? Ja eher nicht so typisch BWL
Ja, ursprünglich schon BWL. Habe nur dieses Semester einen Mathekurs über Stochastische Prozesse genommen.
wenns off topic wird 
ich muss sagen, dass ich jede deiner fragestellungen mega interessant finde, habe aber leider absolut 0 matlab erfahrung und auch so kann ich deine fragen nicht beantworten, die führen aber dennoch immernoch dazu, dass ich mich zu dem thema was einlese
dennoch für die fragestellung würd ich dir empfehlen das ganze irgendwie visueller besser aufzubereiten, vl irgendnen screenshot oder so von der formel wo man direkt sehen kann was sache ist, ich selbst bin die schreibweise oben 0 gewöhnt, sondern eher latex oder sowas, vl kommt man da eher mal auf ne lösung, so hab ich tbh kaum lust mal drüber nachzudenken ♦
Original von HoRRoR
wenns off topic wird
ich muss sagen, dass ich jede deiner fragestellungen mega interessant finde, habe aber leider absolut 0 matlab erfahrung und auch so kann ich deine fragen nicht beantworten, die führen aber dennoch immernoch dazu, dass ich mich zu dem thema was einlesedennoch für die fragestellung würd ich dir empfehlen das ganze irgendwie visueller besser aufzubereiten, vl irgendnen screenshot oder so von der formel wo man direkt sehen kann was sache ist, ich selbst bin die schreibweise oben 0 gewöhnt, sondern eher latex oder sowas, vl kommt man da eher mal auf ne lösung, so hab ich tbh kaum lust mal drüber nachzudenken ♦
muss zustimmen
hier kannste ein tex bildchen erstellen
http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
€: was mich bissl verwirrt, ist deine Verwendung von u und t als Argumente ... kanns sein das da was ni ganz passt?
Original von Qinii
Du Schelm
Original von krong
Arbeit war immer scheiße, ist scheiße und wird auch immer scheiße bleiben, egal was man macht... Es kostet kostbare Zeit, ...
Original von EvilSucker
Frankreich ist wie Bayern. Die Landschaft ist schön, aber die Leute sind kacke!
Original von Schaarsche
muss zustimmen
hier kannste ein tex bildchen erstellen
http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php€: was mich bissl verwirrt, ist deine Verwendung von u und t als Argumente ... kanns sein das da was ni ganz passt?
Jo, bei dS(u)/S(u) müssten auf der rechten Seite auch du und dW(u) stehen. Ich hab mal ne Lösung in dem tex-editor aufgeschrieben:
M(t)=e^{-t}\int_0^t \frac{e^u}{S(u)}dS(u)=h(f(t),G(t)) \\
mit \\
h(x,y)=xy \\
und \\
f(t)=e^{-t}, G(t)=\int_0^t \frac{e^u}{S(u)}dS(u) \\
\Longrightarrow df(t)=-e^{-t} dt, dG(t)=\frac{e^t}{S(t)}dS(t) \\
Ito:\\
dh(f(t),G(t))=f(t)dG(t)+G(t)df(t)
Keine Ahnung wie man das jetzt direkt hier einbinden kann ohne irgendwo das passende gif hochzuladen. Jedenfalls muss man am Ende nur noch die Sachen einsetzen und dann kommt das richtige raus.
Original von Metter3330
Original von Schaarsche
muss zustimmen
hier kannste ein tex bildchen erstellen
http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php€: was mich bissl verwirrt, ist deine Verwendung von u und t als Argumente ... kanns sein das da was ni ganz passt?
Jo, bei dS(u)/S(u) müssten auf der rechten Seite auch du und dW(u) stehen. Ich hab mal ne Lösung in dem tex-editor aufgeschrieben:
Keine Ahnung wie man das jetzt direkt hier einbinden kann ohne irgendwo das passende gif hochzuladen. Jedenfalls muss man am Ende nur noch die Sachen einsetzen und dann kommt das richtige raus.
fyp
(imgur.com, imagelocation per rechtsklick kopieren und auf der seite von imgur einfach strg+v, hochladen, direktlink, fertschala)
Original von Qinii
Du Schelm
Original von krong
Arbeit war immer scheiße, ist scheiße und wird auch immer scheiße bleiben, egal was man macht... Es kostet kostbare Zeit, ...
Original von EvilSucker
Frankreich ist wie Bayern. Die Landschaft ist schön, aber die Leute sind kacke!
Danke für die Antworten. Ich kann die Lösung nachvollziehen, verstehe aber noch nicht ganz genau wieso meine falsch ist. Brauch ich hier wirklich Ito? Sieht bisschen aus wie normale Produktregel? Und wenn ich mich richtig erinnere, dann gilt allgemein folgendes, wenn keine stochastischen Integrale involviert sind:
und das habe ich angewandt um dM_t zu berechnen. Also entweder meine Erinnerung ist falsch (glaube ich nicht) oder aber ich kann diese Formel nicht anwenden, weil ich doch Ito brauche (glaube ich eher, confirmation?)
Aber dann wäre es auch verwunderlich, dass die beiden Wege so unterschiedliche Resultate geben. Normalerweise fehlt ja irgendein Term, wenn man klassische Regeln auf stochastische Probleme anwendet. Hier fehlt einfach eine dt Multiplikation, das hab ich noch nicht gesehen.
Original von Sleyde
Danke für die Antworten. Ich kann die Lösung nachvollziehen, verstehe aber noch nicht ganz genau wieso meine falsch ist. Brauch ich hier wirklich Ito? Sieht bisschen aus wie normale Produktregel? Und wenn ich mich richtig erinnere, dann gilt allgemein folgendes, wenn keine stochastischen Integrale involviert sind:
und das habe ich angewandt um dM_t zu berechnen. Also entweder meine Erinnerung ist falsch (glaube ich nicht) oder aber ich kann diese Formel nicht anwenden, weil ich doch Ito brauche (glaube ich eher, confirmation?)
Aber dann wäre es auch verwunderlich, dass die beiden Wege so unterschiedliche Resultate geben. Normalerweise fehlt ja irgendein Term, wenn man klassische Regeln auf stochastische Probleme anwendet. Hier fehlt einfach eine dt Multiplikation, das hab ich noch nicht gesehen.
Die Funktion F hängt irgendwie gar nicht von y ab, aber die Formel ist auch falsch (z.B. mit f(x,y)=1). Das f(x,x) muss weg, dann gilt sie unter bestimmten Voraussetzungen. Aber davon abgesehen ist deine Ausgangssituation ja eh eine andere. Du bräuchtest wenn überhaupt eher Formeln für Funktionen der Form
(evtl. sowas wie hier unter Leibnizregel). Aber selbst wenn du irgendwas passendes findest im deterministischen Fall, müsstest du vermutlich auch wieder Ito benutzen um zu zeigen, dass alles mit stochastischen Prozessen genauso funktioniert.
Dass bei mir oben alles so aussieht wie die normale Produktregel weil alle "Ito-Terme" wegfallen ist ein bißchen Zufall, weil hier die zweiten Ableitungen nach x und y von h jeweils 0 sind und gleichzeitig die Kovariation zwischen f und G auch 0 ist (dadurch, dass f deterministisch ist).
Sorry, war natürlich mal wieder Tippfehler von mir. In dem latex-bild sollte die Integralgrenze natürlich auch x (und nicht t) sein, dann sollte die Formel stimmen (glaub ich).
Ah, ok. Dann stimmt die Formel. Ich glaube der Beweis der Formel geht irgendwie so, dass man einmal so tut als wäre die Integralgrenze konstant und differenziert nur die Funktion unter dem Integral (welche deterministisch ist, wodurch dein zweiter Summand im Endergebnis stimmt). Dazu addiert man dann noch den Term wo man nur nach der Integralgrenze differenzert und t im Integranden als fest annimmt. Ich hoffe es ist halbwegs verständlich was ich meine. Jedenfalls gilt dann beim Riemann-Integral natürlich
Bei stochastischen Integralen macht so eine Differentiation nach t gar keinen Sinn. Dort ist einfach per Definition
Wenn du deine Formel oben für Riemann-Stieltjes Integrale aufschreibst, dann kommt auch das richtige raus. Also z.B. wenn g eine differenzierbare Funktion ist:
Ah perfekt, auf den Unterschied zwischen Riemann und Riemann-Steltjes Integral hatte ich natürlich nicht geachtet. Super!
Also zusammenfassend brauche ich dann nicht zwangsweise Ito oder? Auch wenn dein 'Beweis' annimmt, dass g differenzierbar ist, was S(u) ja wohl nicht ist.
