Verständnisproblem differenzieren UND integrieren

wieso steigst du bei der nächsten Ableitung nicht mehr durch? Du kannst es doch. Die Summanden einfach getrennt ableiten

Weil ich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr sehe bzw. finde.

Ok, gehen wirs schrittweise durch:

1. Summand: -sin(x²)*4x²
2. Summand: cos(x²)*2

D.h. ich hab nun zweimal die Produktregel, oder?
f1'*g1 + f1*g1' + f2'*g2 + f2*g2'

1. Summand abgeleitet:
-cos(x²)*2x*4x² -sin(x²)*8x
== -8x³cos(x²) -8xsin(x²)

2. Summand abgeleitet (und da bin ich mir total unsicher wegen der Konstanten):
-sin(x²)*2x*2 + cos(x²)*0 (weil die Konstante abgeleitet 0 ergibt, oder?)

Der cos von 0 = 1 und daher fällt alles nach dem + quasi weg, weshalb nur mehr
-sin(x²)*2x*2
== -4xsin(x²)

stehen bleibt, oder?

Zusammengefasst müsste dann:
-8x³cos(x²)-8xsin(x²)-4xsin(x²)
== -8x³cos(x²)-12xsin(x²)

ergeben.

Richtig?

Sieht gut aus. Für die Konstante brauchst aber keine Produktregel bemühen (auch wenns nicht falsch ist).

2x² ist abgeleitet ja auch 4x, da nimmst ebenfalls keine wie auch immer geartete Regel. Konstanten bleiben einfach stehen und werden dann halt mit draufmultipliziert. Oder, falls du unbedingt ne Regel haben willst:

c*f(g(x)) = x*f'(g)*g'(x)

Ach ja, zum Üben: Was ist die Ableitung von sin(cox(x²))? Oder auch sehr schön wäre an der Stelle (sin x)³

Original von sarc
Oder, falls du unbedingt ne Regel haben willst:

c*f(g(x)) = x*f'(g)*g'(x)

Ich glaube du meinst:
[c*f(g(x))]' = c*f'(g(x))*g'(x)

Ja, klar. myself und so... Danke!

Original von sarc
Sieht gut aus. Für die Konstante brauchst aber keine Produktregel bemühen (auch wenns nicht falsch ist).

2x² ist abgeleitet ja auch 4x, da nimmst ebenfalls keine wie auch immer geartete Regel. Konstanten bleiben einfach stehen und werden dann halt mit draufmultipliziert. Oder, falls du unbedingt ne Regel haben willst:

c*f(g(x)) = x*f'(g)*g'(x)

Ach ja, zum Üben: Was ist die Ableitung von sin(cox(x²))? Oder auch sehr schön wäre an der Stelle (sin x)³

Danke schön schon mal.

Dumm gefragt:
Wie kommst Du bei Deiner Regel auf das Ergebnis?
Da kommt die Kettenregel mit den inneren und äußeren Funktionen zum Tragen oder?

Wenn ja: Das ist aktuell eins meiner größten Probleme, nämlich die inneren und äußeren Funktionen zu erkennen. Gibts da irgendwelche Tipps/Tricks?

Bei sin(x²) ists ja nicht das Problem, aber es wird dann haarig, wenn mehrere Klammern bzw. Wurzeln bzw. x-te Wurzel von blablubb auftauchen.

Die innere Funktion ist das Polynom mit x, also alles was nicht komplexer ist als zB x^3+7x^2-28x+13.

Die äußeren Funktionen sind dann üblicherweise Brüche, Wurzeln, Exponentialfunktion oder trigonometrische Funktionen. Also sin(x^3+....) oder 1/(x^3+...) usw.

Ok, alles das, wo das x drin steht ist die innere Funktion. Gut, liest sich mal "einfach."

Und zwecks erkennen von verketteten Funktionen:
Kann man sagen, dass alles was als Argument nicht x alleine hat eine verkettete Funktion ist?

Bsp.:
sin x = keine verkettete Fkt.
sin(x) = verkettete Fkt.

Original von sarc
Ach ja, zum Üben: Was ist die Ableitung von sin(cox(x²))? Oder auch sehr schön wäre an der Stelle (sin x)³

Nehmen wir mal (sin x)³ her:

Innere Fkt.: sin x
Äußere Fkt.: ³

Kettenregel anwenden:
Äußere Fkt. ableiten -> 3(sin x)² * innere Fkt. anschreiben sin x

Innere Fkt. abgeleitet:
Hier muss ich nun die Produktregel nehmen weil ich ja sin x und nicht sin(x) hab, oder?
cos * x + sin
Wobei der sin hier 0 ergibt, daher fällt es weg.

Zusammen ergibt das:
3(sin x)² * (sin x) * cos * x

Stimmt nicht, oder?

Die Sinusfunktion braucht immer ein Argument! Einfach nur "sin" macht keinen Sinn. Oder was soll "sin x" anderes darstellen als "sin(x)"?

1. sin x = sin(x)

Es ist üblich, das man bei den trigonometrischen Funktionen, sofern sie nur ein Argument enthalten, die Klammern weglässt

2. grundsätzlich kann man jede Funktion, die ein Argument braucht als verkettete Funktion auffassen, wenn die innere Funktion aber x ist, dann ist die Ableitung 1 und man kann sie weglassen

sin(x) könnte also als f(g(x)) aufgefasst werden, wobei g(x)=x

3. zu dem Beispiel hab ich oben ja schon was geschrieben, man benutzt nicht die Produktregel, sondern es wird angenommen, dass sin x = sin(x) ist :-)

trigonometrische Funktionen kommen auch nie ohne Argument vor und selbst wenn, wären sie konstante Faktoren und würden sich bei der Ableitung nicht ändern

Gut, dumm ausgedrückt:
sin (x) hat als Argument x und keine Funktion als Argument wie z.B. x².

Original von FiftyBlume
1. sin x = sin(x)

Es ist üblich, das man bei den trigonometrischen Funktionen, sofern sie nur ein Argument enthalten, die Klammern weglässt

2. grundsätzlich kann man jede Funktion, die ein Argument braucht als verkettete Funktion auffassen, wenn die innere Funktion aber x ist, dann ist die Ableitung 1 und man kann sie weglassen

sin(x) könnte also als f(g(x)) aufgefasst werden, wobei g(x)=x

3. zu dem Beispiel hab ich oben ja schon was geschrieben, man benutzt nicht die Produktregel, sondern es wird angenommen, dass sin x = sin(x) ist

trigonometrische Funktionen kommen auch nie ohne Argument vor und selbst wenn, wären sie konstante Faktoren und würden sich bei der Ableitung nicht ändern

OMG, genau... Wie gesagt: irgendwann komm ich komplett durcheinander und dann schleichen sich peinliche Fehler ein.

Neuer Versuch:
Nehmen wir mal (sin x)³ her:

Innere Fkt.: sin(x)
Äußere Fkt.: ³

Kettenregel anwenden:
Äußere Fkt. ableiten -> 3(sin x)²

Innere Fkt. abgeleitet:
cos(x)

Zusammen ergibt das:
3(sin x)² * cos(x)

Jetzt müßts passen.

Original von sarc
Ach ja, zum Üben: Was ist die Ableitung von sin(cox(x²))?

Das ist dann eine mehrfache Verkettung (zugegeben, da musste ich erst nachsehen, da mir das in der Form unbekannt war).
Da hat man dann eine innere, mittlere und äußere Fkt.

Die Innere ist: x²
Die mittlere: cos(x²)
Die Äußere: sin(cos(x²))

Innere abgeleitet:
x² = 2x

Mittlere abgeleitet:
cos(x²) = -sin(x²)

Äußere abgeleitet:
sin(cos(x²)) = cos(cos(x²))

Dann muss man alles zusammenmultiplizieren:
cos(cos(x²))*-sin(x²)*2x

Nur verteh ich nicht, warum man es z.B. bei der mittleren Ableitung bei -sin(x²) beläßt und nicht mittels Kettenregel auf -sin(x²)*2x kommt? Und bei der äußeren Ableitung wirds dann sowieso konfus.

Original von GeeBee
Zusammen ergibt das:
3(sin x)² * cos(x)

Jetzt müßts passen.

Diesmal stimmt die Ableitung ♠_thumbsup:

Original von GeeBee

Original von sarc
Ach ja, zum Üben: Was ist die Ableitung von sin(cox(x²))?

Das ist dann eine mehrfache Verkettung (zugegeben, da musste ich erst nachsehen, da mir das in der Form unbekannt war).
Da hat man dann eine innere, mittlere und äußere Fkt.

Die Innere ist: x²
Die mittlere: cos(x²)
Die Äußere: sin(cos(x²))

Innere abgeleitet:
x² = 2x

Mittlere abgeleitet:
cos(x²) = -sin(x²)

Äußere abgeleitet:
sin(cos(x²)) = cos(cos(x²))

Dann muss man alles zusammenmultiplizieren:
cos(cos(x²))*-sin(x²)*2x

Nur verteh ich nicht, warum man es z.B. bei der mittleren Ableitung bei -sin(x²) beläßt und nicht mittels Kettenregel auf -sin(x²)*2x kommt? Und bei der äußeren Ableitung wirds dann sowieso konfus.

sin(cos(x^2)) = f(g(h(x))
h(x)=x^2, g(y)=cos(y), f(z)=sin(z) mit h(x)=y und g(y)=z.
Nur wenn man jeweils neue Variablen nimmt kann man das sauber hinschreiben. Ansonsten steht da plötzlich Quatsch da wie zum Beispiel

Mittlere abgeleitet:
cos(x²) = -sin(x²)

Es ist zwar klar was Du meinst, aber so wie es dasteht ist es halt nicht richtig.

Bastel vielleicht nicht neue Konstrukte wie "mittlere Ableitung". Das gibt es bei der Kettenregel nicht.

Bleib bei f(g(x)) und ignorier erstmal, ob/wie du die innere ableiten kannst, wenn du die äussere dadurch erstmal los wirst.
Also bei sin(cos(x^2)) ist f = sin und damit f' = cos(cos(x^2)). Bzw. das Zwischenergebnis cos(cos(x^2)) * g'(x). Was ist jetzt g? und was g'?

Ich mal wieder...

So, das Differenzieren hab ich nun soweit mal begriffen.

Weiter gehts mit dem Integrieren. Mir fehlt da irgendwie wie beim D. das "AHA!" Erlebnis.
Ich hab diverse Tabellen vor mir, die zwar angeben, dass z.B. 1/x inegriert ln (x) ergibt, aber ganz schlau werd ich nicht draus.

Bsp.:
aus sin(x) wird -cos(x)
aus x² wird x³/3

Das versteh ich noch.

Aber bei sin(2x) steh ich schon an. Ich bin mir sicher, es ist total einfach, aber ich will und will nicht draufkommen.

Es kommt raus: -1/2 * cos(2x)
das "-" kommt von der Integration des sin. Aber woher kommen die 1/2 her?

Genauso e^(-2x)
Ich weiß, dass e^irgendwas integriert, e^irgendwas ergibt. Und e^-irgendwas bleibt e^-irgendwas.

Aber auch hier wirds zu -1/2*e^(-2x). Woher das 1/2?

Gibts beim Integrieren auch sowas wie Ketten- und Produktregel?

Original von GeeBee
Gibts beim Integrieren auch sowas wie Ketten- und Produktregel?

Ja. Nennt sich bei der Integralrechnung Substitution bzw. Partielleintegration. Wenn du nach den Begriffen mal suchst, solltest du passendes finden.

Zur Frage sin(2x). Das, was du nach dem integrieren hast, ist ja eine Stammfunktion der Ausgangsfuntktion. Die Ableitung der Stammfunktion muss also gerade der Ausgangsfunktion entsprechen. Wenn du -1/2 * cos(2x) ableitest, bekommst du eben genau sin(2x) heraus.
Wie man das berechnet... Entweder durch Hingucken, was in diesem Fall ja noch recht "einfach" geht. Du musst dir halt überlegen: Was muss ich ableiten, um auf sin(2x) zu kommen? Das der cosinus dann da rein kommt, sollte klar sein. Rest kannste dir ja mal selber überlegen.
Alternative wäre die Substitution von 2x=y. Aber das wäre hier eigl schon zu viel Aufwand imo, weil man solch eine Funktion per Hinguckn integrieren können sollte.

Weiß ich schon, dass ich durch das Integrieren die Stammfunktion bekomme bzw. dass die Ableitung der Stammfkt. die Ausgangsfkt ergibt.

So gesehen hab ich ja eigentlich das Ergebnis und muss herausfinden, wie es dazu gekommen ist (ganz überspitzt ausgedrückt)? Und genau das macht mir Schwierigkeiten, weil ich dieses "um die Ecke denken" nicht intus habe.

Wie gesagt, wenn ich gewisse Regeln vor mir habe, nach denen ich mich richten kann, ists kein so großes Problem (siehe auch aus x wird x²/2). Aber wenns dann bissl komplexer wird steig ich voll aus.

Z.B. komme und komme ich einfach nicht drauf, wie aus dem (2x) plötzlich 1/2 wird. Dass der sin durchs integrieren zum -cos wird gut, aber wie komm ich auf die 1/2?