Moin,
es gilt ja: A, B disjunkt => P(A u B) = P(A) + P(B)
Kann mir jemand ein Beispiel nennen, warum die Umkehrung nicht gilt?
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Wenn A und B nicht disjunkte unmögliche Ereignisse sind. Dann ist nämlich P(A n B) ebenfalls 0.
Also z.B. wirfst Du in Deutschland eine Ball zufällig in irgendeine Richtung. Die Wahrscheinlichkeit das der Ball in Amerika (Ereignis A) oder in den USA (Ereignis B) landet, ist unmöglich. Die Ereignisse sind aber nicht disjunkt, da die USA ein Teil von Amerika ist.
Spoiler
Voraussetzung: Du bist nicht Superman
Ja, für fast sichere bzw. fast unmögliche Ereignisse geht das. Die Frage zielte auf die Definition von Unabhängigkeit.
Paarweise Unabhängigkeit ist über P(A n B) = P(A) * P(B) definiert. Was würde P(A u B)= P(A) + P(B) an der der Definition ändern?
Ich verstehe nicht was deine Frage ist.
Stochastische Unabhängigkeit hat per se nichts mit disjunkten Ereignissen zu tun.
Deswegen suche ich ja nach einem Beispiel wo P(A u B)= P(A)+ P(B) gilt, aber A und B nicht disjunkt sind 
Es gilt die Implikation
A, B disjunkt => P(A u B) = P(A) + P(B)
Warum nicht die Gegenrichtung?
Edit: Für Ereignisse die nicht gleich null sind. Warum folgt aus P(A u B)= P(A)+ P(B) nicht schon die Unabhängigkeit?
disjunkt ist nicht gleich unabhängig
disjunkt: A n B = 0
unabhängig: P(A n B) = P(A)*P(B)
Genau. Soweit alles gut. Die Frage ist, warum
A, B disjunkt => P(A u B) = P(A) + P(B)
gilt, aber nicht die Rückrichtung. Bzw. für welche abhängigen Ereignisse P(A u B) = P(A) + P(B) gilt.
Original von Onken
Deswegen suche ich ja nach einem Beispiel wo P(A u B)= P(A)+ P(B) gilt, aber A und B nicht disjunkt sind
Das Beispiel habe ich dir schon geliefert.
Aber ich weiß glaube ich jetzt worauf du hinaus willst:
Schließt man die unmöglichen Ereignisse aus, also P(A) > 0 und P(B) > 0, so kann man daraus schließen, dass disjunkte Ereignisse immer auch abhängig sind.
Beweis:
Allgemein gilt: P(A n B) + P(A u B) = P(A) + P(B)
Für zwei disjunkte Ereignisse gilt: P(A u B) = P(A) + P(B), da P(A n B) = P(0) = 0
Für unabhängige Ergebnisse gilt: P(A n B) = P(A) * P(B) > 0 für P(A) > 0 und P(B) > 0
Das ist ein Widerspruch! Deswegen sind zwei disjunkte Ereignisse A und B auch immer abhängig, wenn P(A) > 0 und P(B) > 0.
Das Gegenbeispiel hat dir ja schon kamikaze geliefert.
Das Problem an der ganzen Sache ist, dass du hier nur einen Spezialfall der Definition eines Maßes betrachtest und dann fragst warum die Umkehrung nicht gilt. Da ist es halt schwer zu argumentieren. Man hätte ein Maß auch mit der Forderung Für alle A,B gilt: P(AuB)=P(A)+P(B) definieren können, aber dann wäre es halt für die Praxis unbrauchbar gewesen.
Suchst du sowas?
A = [0,1/2] B = [1/2, 1] (auf [0,1] mit Lebesguemaß)
1 = P( A u B ) = P( A ) + P ( B ) = 1
aber A n B = {1/2} != {} , also nicht disjunkt
Hab mich vielleicht (sehr) undeutlich ausgedrückt 
aber genau danach hab ich gesucht:
Original von notx0r
Suchst du sowas?
A = [0,1/2] B = [1/2, 1] (auf [0,1] mit Lebesguemaß)
1 = P( A u B ) = P( A ) + P ( B ) = 1
aber A n B = {1/2} != {} , also nicht disjunkt
danke ♦