Matemática: ¿cómo nos ayuda el valor esperado?
Introducción
- EV = ganancias * probabilidad de ganar – pérdidas * probabilidad de perder
- A evaluar cuál es la mejor acción.
- A analizar tu juego con dicha fórmula.
El valor esperado de una acción nos dice el promedio de ganancias o
de pérdidas que podemos obtener si la ejecutamos. Así pues,
en el póquer siempre sabremos cuál será la mejor decisión si conocemos el
valor esperado de todas las acciones posibles.
o por retirarnos, en el momento en que calculemos el valor esperado
sabremos con certeza cuál será la mejor opción. En muchos casos, esto
también se puede deducir de las probabilidades (odds) y de los outs, conceptos que, a estas alturas, ya deberías conocer. Sin embargo, cabe destacar que con el valor esperado se puede ir mucho más allá.
En este artículo aprenderás a calcular el valor esperado de una acción.
Otra de las cosas que te enseñaremos será a determinar, con el valor
esperado, cuál es la mejor acción cuando
tengas varias alternativas. Por último, te mostraremos cómo utilizar
el valor esperado de modo que puedas analizar posteriormente las
diversas situaciones de juego, y que seas capaz de contestar a
preguntas del tipo: "¿Qué debería haber hecho cuando...?" o "¿Qué habría
pasado si
hubiera hecho esto?"
Para que comprendas el contenido de este artículo en su totalidad, es
muy importante que hayas entendido el concepto de odds y outs.
Asimismo, si acaso, sería conveniente que refrescaras algunos de los
conocimientos matemáticos que tengas dormidos sobre bases de cálculo de
probabilidades y sobre transformación de ecuaciones y sistemas de
ecuaciones.
¿Cómo se calcula el valor esperado?
Imaginémonos que alguien nos propone que escojamos
de entre dos sobres: uno contiene 5 euros, y el otro, 20. Los
examinamos tranquilamente, sentimos su delicada textura, hasta notamos
el billete que hay dentro de cada uno, pero, aun así, no percibimos
diferencia alguna.
euros podemos quedarnos con uno de los dos sobres. Pero, ¿en realidad
nos conviene hacerlo? Pues justamente de esto es de lo que se encarga el
valor esperado. Su misión es decirnos el promedio de ganancias o
de pérdidas que podemos obtener si hacemos esto o lo otro una y otra vez.
Para calcular el valor esperado necesitamos cuatro datos:
- ¿Cuánto podemos perder?
- ¿Cuánto podemos ganar?
- ¿Qué probabilidad hay de que ganemos?
- ¿Qué probabilidad hay de que perdamos?
El valor esperado se suele abreviar con la sigla "EV", que proviene del inglés "Expected Value", y se puede calcular mediante una sencilla fórmula:
Por lo tanto, lo que hacemos es deducir las
pérdidas de las ganancias,
y el valor esperado será la cantidad resultante, esto es, lo que
nos queda. Por cierto, esta fórmula se ha extraído de una fórmula
más general. En la fórmula de arriba diferenciamos explícitamente entre
ganancias y pérdidas. Normalmente, tanto las ganancias como las pérdidas
se pueden denominar también "pagos". Si el pago es positivo, obtienes
ganancias; si es negativo, obtienes pérdidas.
En esta fórmula sólo se tiene en cuenta:
- ¿Qué es lo que puede ocurrir?
- Pagox: ¿Cuánto ganaremos o perderemos si ocurre un determinado acontecimiento x?
- Probabilidadx: ¿Qué probabilidad hay de que este acontecimiento ocurra?
Por lo tanto, en vez de hacer una lista de pérdidas y ganancias por separado, el valor esperado nos permite
saber fácilmente cuánto ganaremos o perderemos si ocurre esto o lo
otro. Como hemos dicho, el pago puede ser tanto positivo (si
obtenemos ganancias) como negativo (si obtenemos pérdidas). Por eso, en la
fórmula anterior no se resta nada, ya que en caso de pérdidas
añadiremos un signo de menos delante de la cifra en cuestión, con lo
que el más se convertirá automáticamente en un menos.
considerar todos los posibles resultados de una situación determinada,
es muy fácil calcular de modo exacto el valor esperado. Primero,
tenemos en
cuenta todo lo que puede pasar. Después, analizamos lo que podemos
ganar o perder en un caso concreto. Finalmente, averiguamos qué
probabilidad hay de que se dé cada uno de los resultados. Multiplicamos las ganancias o las pérdidas
por las probabilidades de que ocurra cada uno de esos acontecimientos, y al final sumamos
todos los resultados obtenidos.
En
nuestro ejemplo anterior, la probabilidad de que tomemos uno u otro sobre es de
50:50. Cogeremos el sobre A en el 50% de los casos, y lo mismo para el
sobre B.
Esto significa que hay un 50% de posibilidades de
que nos llevemos los 5 euros, que es el dinero que contiene el sobre A.
Del mismo modo, tenemos las mismas posibilidades de conseguir los 20
euros del sobre B. La cantidad que perderemos, en cualquier caso, serán
los 10 euros que hemos apostado para que se nos permita elegir un
sobre, lo que significa que en el 100% de los casos perderemos 10 euros.
Para empezar, introduzcamos en la fórmula la información anterior:
- En el 100% de los casos perderemos 10 euros, que hemos de pagar en cualquier caso.
- En el 50% de los casos ganaremos 5 euros.
- En el 50% de los casos ganaremos 20 euros.
Así pues, esta fórmula será la siguiente:
EV = ganancias(sobre A) * 50% + ganancias(sobre B) * 50% – pérdidas(apuesta) * 100%
EV = 5 euros * 50% + 20 euros * 50 % - 10 euros * 100%
El 50% siempre es la mitad de cualquier cosa. El 50% de 5 euros son, por lo tanto, 2,50 euros. El 50% de 20 euros son 10 euros.
EV = 2,50 euros + 10 euros – 10 euros
EV = 2,50 euros
Esto significa que ganaremos una media de 2,50 euros, siempre y cuando llevemos a cabo alguna acción. El valor esperado es positivo, así que para nosotros esa situación
tiene +EV (siglas de valor esperado positivo). Seguro que has escuchado una y otra vez los conceptos de "EV positivo"
y "EV negativo", tanto en el mundo del póquer como en la comunidad de
PokerStrategy. Ahora ya sabes a qué se refieren.
¿Cómo nos ayuda el EV a tomar la mejor decisión?
Hasta aquí parece todo bastante fácil, pero
la cosa puede complicarse en cuanto empecemos a analizar situaciones de
juego concretas. Cuando, por ejemplo, en una partida de póquer,
llegados al turn,
nos encontramos con el dilema de no saber si igualar o retirarnos,
podemos hacer algo muy fácil: primero calculamos el valor esperado para
el call, así como el valor esperado para el fold. Después
compararemos ambos resultados, y el valor esperado más alto será el que
nos indicará la acción que más nos conviene llevar a cabo.
Ahora
reflexionemos sobre una situación abstracta. En este caso pueden
suceder dos acontecimientos posibles: A y B. La probabilidad de que
ocurra A es del 80%, y B puede suceder en el 20% de los casos.
| Acontecimiento A | Acontecimiento B | |
| Probabilidad de que ocurra | 80% | 20% |
En este caso podemos apostar por A o por B. Si apostamos por A y al final ocurre A, ganaremos 2 euros. Si, por el contrario, ocurre B, perderemos 4 euros.
En cambio, podemos apostar por B y ganar 4 euros, si estamos en lo
cierto y ocurre B, pero, si nos equivocamos y sucede A, perderemos 2
euros.
| Si ocurre acontecimiento A | Si ocurre acontecimiento B | |
| Apostamos por A | Ganamos 2 € | Perdemos 4 € |
| Apostamos por B | Perdemos 2 € | Ganamos 4 € |
Ahora, para averiguar si es realmente más
conveniente apostar por A o por B, calcularemos el valor esperado de A
y de B, e, inmediatamente después, compararemos los resultados.
EV = ganancias * probabilidad de ganar – pérdidas * probabilidad de perder
EV(A) = 2 € * 80% - 4 € * 20%
EV(B) = 4 € * 20% - 2 € * 80%
El valor esperado de A se calcula deduciendo los
2 euros que ganamos en el 80% de los casos, de los 4 euros que perdemos en el 20% restante, siempre y cuando suceda B. Entonces, pasemos a calcular el EV de A:
EV(A) = 2 € * 80% - 4 € * 20%
EV(A) = 1,6 € - 0,8 €
EV(A) = 0,8 €
De estos cálculos se concluye que apostar por A nos reporta beneficios,
ya que el valor esperado es positivo. La media de ganancias que podemos
obtener cada vez que apostemos por A será de 80 céntimos. Por el
contrario, ¿qué ocurriría si apostáramos por B?
EV(B) = 4 € * 20% - 2 € * 80%
EV(B) = 0,8 € - 1,6 €
EV(B) = -0,8 €
En este caso, nos hemos dado cuenta en seguida de
que apostar por B significa perder dinero. El valor esperado es
negativo, lo que quiere decir que cada vez que apostemos por B,
perderemos una media de 80 céntimos.
EV(A) > EV(B)
Un acontecimiento nos supone 80 céntimos de
ganancias, y el otro, 80 céntimos de pérdidas. Evidentemente, la mejor
decisión que podemos tomar es apostar por A. Y, con esto, acabamos de
aprender un principio esencial en el póquer:
tengamos que tomar una decisión a la hora de jugar, de todas las acciones
posibles, nos convendrá siempre elegir aquélla que presente el valor
esperado más elevado.
Este principio es fundamental. No obstante, ahora prestemos especial atención a cómo está expresado. No hay que elegir la acción
que nos aporte más beneficios, sino aquélla que tenga un mayor valor
esperado. El valor esperado puede incluso ser negativo (-EV), lo que
significa que obtendremos pérdidas. Sin embargo, esta acción será la
mejor aunque esté precedida de un signo negativo, siempre y cuando el resto de acciones posibles pudieran
reportarnos incluso pérdidas mayores.
¿De qué manera nos beneficia el EV en el Texas Hold'em?
Supongamos que en el turn estamos jugando cara a cara contra otro adversario.
Nosotros tenemos: T
9
La composición de la mesa es: 6
7 2 4
Tenemos un proyecto de escalera interna (gutshot) y nos
falta un ocho para poder completar el proyecto. Estamos seguros de que
nuestro adversario lleva pareja superior, probablemente QQ o KK.
tenemos son limpios, ya que sólo necesitamos uno de los cuatro ochos de la
baraja para ganar la mano. Se trata de cuatro cartas que todavía quedan
por salir, de un total de 46. La probabilidad de que el river traiga un ocho es de 4/46, es decir, 0,087, o del 8,7%. Ésa será, por tanto, la probabilidad de que ganemos.
La
probabilidad de que perdamos consiste simplemente en la probabilidad de
que no salga ningún ocho, y que se reparta, por consiguiente, una de las 42
cartas (46 – 4 = 42) que todavía están por salir. En ese caso, la probabilidad de que salga una de esas 42 cartas se
expresaría como 42/46, o 0,913, lo que supone un 91,3% de probabilidad.
hay 5 $. Nuestro adversario apuesta 1 $, con lo que el tamaño del bote
asciende a 6 $. Ésa es la cantidad que podemos ganar.
Con respecto a lo que podemos perder, se trata de un total de 1 $, cantidad que tenemos que apostar necesariamente si queremos seguir jugando.
Así pues, si hacemos call, el valor esperado será de:
EV = ganancias * probabilidad de ganar – pérdidas * probabilidad de perder
EV(call) = 6 $ * 8,7% - 1 $ * 91,3%
EV(call) = -0,39 $
Como vemos, la cifra es negativa, con lo que
obtendremos pérdidas. De cada dólar que apostemos, 39 céntimos irán a
parar al bolsillo de nuestro adversario. De los 100 céntimos iniciales
sólo recuperaremos 61. Una mala inversión, ya que recibiremos de vuelta
menos de lo que habíamos invertido, con lo que el valor esperado será
negativo (–EV).
El valor esperado de un fold siempre es cero.
EV(fold) = 0 $
Como ya no invertimos más dinero, tampoco existe la posibilidad de que haya
pérdidas, por lo que éstas son nulas. Por otra parte, siempre que
nos retiremos, tampoco podremos obtener beneficios, puesto que ya no
podremos ganar la partida. Por cierto, aunque es verdad que a veces nos
planteamos qué pasa con el dinero que hemos invertido hasta ese
momento, al hacer fold ya podemos olvidarnos de esa inversión, porque va a ser imposible recuperarla.
Para averiguar si es mejor hacer call o hacer fold, comparemos el valor esperado de ambas acciones:
EV(fold) = 0 $
EV(call) = -0,39 $
EV(fold) > EV(call)
Definitivamente, según este resultado, nos será más rentable retirarnos que igualar.
¿De qué otras formas nos ayuda el EV?
Jugar al póquer implica encontrar siempre la
acción con el mayor valor esperado de entre todas las acciones posibles
con que contamos en ese momento determinado. Siempre que el valor
esperado de una acción sea mayor que cero, obtendremos beneficios.
vamos experimentando con la fórmula (lo que es muy recomendable; un
buen ejercicio puede ser, por ejemplo, analizar las manos en las que
nos
hemos sentido inseguros), en el supuesto de arriba, en el que teníamos
una escalera interna en el turn y nuestro adversario había
apostado 1 $, podríamos preguntarnos: ¿Qué tamaño debería tener el bote
para que podamos igualar la apuesta de 1 $ de nuestro rival y después
de todo podamos obtener beneficios con nuestro proyecto?
En esta fórmula, las ganancias posibles son el bote.
EV(call) = ganancias * probabilidad de ganar – pérdidas * probabilidad de perder
Para saber cuándo será positivo el valor esperado, es válido lo siguiente:
EV(call) > 0
En este momento, podemos equiparar estas dos fórmulas. Al hacerlo, esto es lo que obtenemos:
EV(call) > 0, cuando:
ganancias * probabilidad de ganar – pérdidas * probabilidad de perder > 0
Ahora, simplemente démosle la vuelta a esta fórmula enfocándonos en las ganancias,
porque, al fin y al cabo, es lo que perseguimos. Si no tienes claro
cómo hacerlo o encuentras dificultades, en Internet seguro que
te será fácil encontrar páginas en las que se explique cómo transformar
ecuaciones.
EV(call) > 0, cuando:
ganancias * probabilidad de ganar – pérdidas * probabilidad de perder > 0
ganancias * probabilidad de ganar > pérdidas * probabilidad de perder
ganancias > pérdidas * probabilidad de perder / probabilidad de ganar
El valor exacto de las tres variables de la izquierda ya lo conocemos:
Pérdidas = 1 $
Probabilidad de perder = 42/46
Probabilidad de ganar = 4/46
Por lo tanto, obtendremos el siguiente resultado:
EV(call) > 0, cuando:
ganancias > pérdidas * probabilidad de perder / probabilidad de ganar
ganancias > 1 $ * 42/46 / (4/46)
ganancias > 1 $ * 1932/184
ganancias > 10,5 $
Así pues, el bote deberá tener más de 10,5 $ para
que nos valga la pena apostar 1 $. Esto ya lo hemos visto también en el
artículo sobre Odds & Outs. Las odds para un proyecto de escalera interna (gutshot) en el turn son de 1:11. Hemos aprendido que nos es rentable pagar una apuesta cuando, como mínimo, la recuperamos 11 veces.
En realidad, hay una conexión muy clara entre ambos principios, y es
que la probabilidad de que podamos completar el proyecto de escalera
interna con uno de los cuatro outs, como ya hemos mencionado,
es de 4/46, lo que significa 0,087 o el 8,7% de las veces (calculamos
el porcentaje porque es más fácil). Ésa es la probabilidad de que se
reparta uno de los cuatro outs.
Dicho
de otra forma más simple, en 1 de 12 casos (100% / 8,7%) podremos
completar nuestro proyecto de escalera interna (gutshot). La forma anglosajona de
escribir esta proporción es 11:1, y significa que en once casos no nos
llegará ningún out, mientras que en un caso, sí. Como hemos
visto, al calcularlo de este modo, volvemos a tener unas probabilidades
que ya nos eran conocidas: 11:1. Así
pues, podemos expresar rápidamente el valor esperado en términos de probabilidades (odds) o de probabilidades con
relación al bote (pot odds).
El principio es el mismo, pero el método es distinto.
Conclusión
En
resumen, se puede decir que para calcular el valor esperado hay que
deducir las pérdidas de las ganancias teniendo en cuenta cuál será la
probabilidad de que ganemos o perdamos.
EV = ganancias * probabilidad de ganar – pérdidas * probabilidad de perder
El valor esperado nos permite saber cuál será la media de ganancias o de pérdidas que obtendremos.
No obstante, en muchos casos aplicaremos la
fórmula general, en la que tanto las ganancias como las pérdidas se
denominan "pagos". Si el pago es negativo, perdemos. Si es positivo,
ganamos.
EV = pago1 * probabilidad1 + pago2 * probabilidad2 + … + pagon * probabilidadn
Si partimos de la base de que queremos analizar
una situación de juego concreta, tendremos que considerar qué posibles
acciones podríamos llevar a cabo, qué grado de probabilidad tienen, y
qué ganancias o pérdidas nos ofrece cada una. Entonces, lo que haremos
será introducir en la fórmula toda esta información, y el valor
resultante será el valor esperado.
es la más rentable, entonces calcularemos el valor esperado de cada una
de las posibles acciones. A continuación, compararemos todos los valores
esperados. Finalmente, la acción que presente el valor esperado (EV) más alto será la
que más nos convendrá.
Con esto hemos aprendido, gracias al valor esperado, a basar nuestro
juego en unos conceptos matemáticos más profundos. A lo mejor, al
principio te ha parecido que se trataba de unos cálculos muy
complicados, pero en realidad son muy sencillos. Si no acabas de
entender del todo el artículo, todavía tienes dudas, o simplemente
te sientes inseguro, en el foro estamos para ayudarte.
Muchos de los conceptos y de los artículos de estrategia que vas a leer
a partir de ahora presuponen que sabes calcular el valor esperado. Es
por eso que te recomendamos que inviertas todo el tiempo que necesites
en este punto, ya que entender bien el concepto de valor esperado, así
como el de odds y outs, es una de las piedras angulares de tu formación como jugador de póquer.
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