Ca parait cense, mais c'est pas immediat, c'est encore autre chose et ca parait pas super facile a montrer. Apres si tu sort les theoremes qui vont bien, je veux bien te croire, mais dans le vent comme ca, je me prononcerais pas perso.
C'est pas bien difficile de trouver une suite qui diverge sans tendre vers l'infini et qui a pourtant une moyenne constante.
Ok la je lache aussi.
Je vous laisse pour le battle final ca devient trop subtil pour moi 
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Message original de Kingofdonks
Ca parait cense, mais c'est pas immediat, c'est encore autre chose et ca parait pas super facile a montrer. Apres si tu sort les theoremes qui vont bien, je veux bien te croire, mais dans le vent comme ca, je me prononcerais pas perso.C'est pas bien difficile de trouver une suite qui diverge sans tendre vers l'infini et qui a pourtant une moyenne constante.
Il n'existe pas de fonction qui n'a pas de limite et dont la moyenne tend vers l'infini. En effet, si une telle fonction existait, elle serait équivalente à sa moyenne, et donc pas un théorème d'équivalence, la fonction tendrait vers l'infini aussi.
Ici, le problème, c'est que notre fonction "écart" est aléatoire. On ne peut pas dire qu'elle tend vers l'infini, en effet, parce qu'il existe des cas où elle va finir négative par exemple (il existe une probabilité non nulle que l'écart prenne n'importe quel valeur).
Ainsi, comme on a une fonction qui va dans tous les sens aléatoirement, je proposais de prendre la moyenne de ces probabilités (en pondérant chaque valeur par sa probabilité) et d'étudier cette moyenne là.
Celle-ci va en effet tendre vers l'infini puisque la probabilité que l'écart soit de plus en plus grand est de plus en plus grande au fur et à mesure du temps (ou des mains plutôt ici).
Ainsi, ce n'est pas la moyenne d'une courbe réelle !!!
Tu prends
- f(x)=x pour x dans [2n, 2n+1[ pour tout n entier
- f(x)=0 pour x dans [2n+1, 2n+2[ pour tout n entier
Moyenne x/4 si je me plante pas, tend vers l'infini, pas de limite...
Et tu peux faire la meme avec des fonctions continues, en lissant celle la...
Donc ton theoreme d'equivalence, ca me dis rien mais il doit avoir des conditions plutot strictes...
Pour ta moyenne, ca reste une moyenne, si t'a enormement de courbes qui restent proche de l'esperance quand peu s'eloignent c'est pas dis que ca tende vers l'infini en moyenne.
Meme si on pourrait penser que t'a raison dans notre cas, faut arreter de tout melanger, d'utiliser des termes sans faire gaffe a ce qu'ils veulent dire et de sortir des resultats sans rien demontrer. Parce qu'apres on se retrouve avec des mecs qui racontent "nan mais l'ev demain elle remonte, c'est statistique..."
En effet pour le début, mea culpa.
Notre problème étant qu'on n'a pas une seule courbe. Et en effet cette courbe ne tend pas vers l'infini. En tout cas, on n'a aucun moyen de le garantir. Comme tu l'as dit toi-même, la courbe va trop osciller pour tendre vers quelque chose de bien précis.
C'est pourquoi l'étude ne peut pas se porter sur une courbe bien précise. Il faut considérer l'ensemble des courbes possibles, qui sont une infinité.
Supposons qu'on réalise uniquement des 80/20 en investissant 1$ à chaque coup (sans rake). 0,8 * 2 - 0,2 * 0 - 1= 0,6 : gain moyen.
En théorie, on a une droite croissante de pente = 0,6.
En pratique, on va avoir une courbe qui va osciller autour de la courbe théorique.
Considérons un échantillon de 100 mains. On devrait alors gagner 60$ en théorie.
Calculons la probabilité d'avoir un écart de plus de 20$ en positif : Pour ça, il faut considérer la probabilité de gagner plus de 80$.
Pour chaque lancer, on investit 1$. On investit donc 100$ sur les 100 mains. Mais pour avoir 80$ de gains nets, on doit avoir regagner 180$, soit 90% rencontres gagnées.
Calculons la probabilité de remporter plus de 90% des rencontres.
Pour remettre le cadre des probabilités, il s'agit ici d'un tirage dans une urne contenant 8 boules noires et 2 boules blanches.
On veut, au bout de 100 tirages avec remise, avoir au moins 90 boules noires : loi binomiale de paramètres 100 et 0,8.
Comme je suis un peu flemmard (et surtout que je vois pas comment calculer ça autrement), j'ai utilisé Maple pour les calculs.
> restart:
> with(Statistics):
> X := RandomVariable(Binomial(100,0.8)):
> ProbabilityFunction(X, 90);0.003362819970
> restart:
> with(Statistics):
> X := RandomVariable(Binomial(100,0.8)):
> sum(ProbabilityFunction(X, k),k=0..100);1.
Juste un petit test pour voir que je fais ça correctement, je l'ai fait sur la calculatrice aussi histoire de vérifier.
Et puis l'autre test pour voir si ça marche vraiment 
restart:with(Statistics):
> X := RandomVariable(Binomial(100,0.8)):
> sum(ProbabilityFunction(X, k),k=90..100);0.005696380956
Voilà, on a le résultat : 0.005696380956 environ. C'est très faible, mais peu importe ceci.
Ce que je veux montrer ici, c'est que la probabilité qu'on ait un écart de 20$ en positif est de plus en plus grand. Supposons qu'on fasse 1000 lancers. On investit 1000$, on gagne en théorie 600$. Pour gagner 620$, il faut regagner 1620 après avoir investi 1000, donc gagner 810 lancers au moins.
> restart:
> with(Statistics):
> X := RandomVariable(Binomial(1000,0.8)):
> sum(ProbabilityFunction(X, k),k=810..1000);0.2273564193
C'est plus vraiment très faible ici Dans presque un cas sur 4 on aura plus de 20$ d'écart en positif.
Avec 10 000 : Comme d'habitude, il faut gagner au moins 10 lancers de plus que la théorie.
Hum .. Le calcul est un peu long, j'ai failli faire planter l'ordi -_-
Enfin bref, vous avez compris le principe : La probabilité va sans cesse croître. Va-t-elle tendre vers 1 ? Je ne peux pas le garantir.
Mais ce qu'on a fait ici pour 20$ de plus, c'est aussi valable pour 10 000$ de plus, à partir d'un certain nombre de mains jouées beaucoup plus grand par contre.
Finalement, on ne peut pas dire que l'écart tend vers l'infini. D'ailleurs, si on prend ce que je disais plus haut, la moyenne des probabilités, il est clair qu'elle va être sur la courbe théorique, où l'écart est nul (complètement débile ce que je disais en fait, mais bon, dans ses raisonnements comme au poker, il faut savoir se remettre en question pour chercher la vérité objective).
En revanche, ce qu'on peut dire, c'est que la probabilité que l'écart soit de plus en plus grand est de plus en plus grande. Ainsi, à l'infini, l'écart pourra prendre n'importe quel valeur il pourra être infini comme il pourra être nul, mais on ne peut pas garantir qu'il tend vers l'infini. On peut surtout dire qu'il sera compris entre -oo et +oo.
Ceci dit, pour en revenir à ce qu'on disait au début, cet infini est négligeable devant celui atteint par la courbe des gains (heureusement :p)
Ok pour la nuance, néanmoins le résultat est le même. Il n'y a pas de raison pour que tes gains réels convergent vers ton EV, ce qui était à la fois la phrase de Charles sur laquelle je réagissais à la base et une des conclusions de Blackfear dans son article.
Ce qui est vrai, c'est que cette différence d'EV devient négligeable par rapport aux résultats sur le long terme. Le pavé de Black suffit amplement à tirer cette conclusion.
