Koncepcje matematyczne w no-limit Hold'em (3) - fold equity i zaawansowane EV

Wprowadzenie

W tym artykule

• Jak ewentualny pas wpływa na EV
  
• Dokładna analiza standardowych zagrań po flopie
  
• Zyskowny 4-bet blef
  

W drugiej części przedstawiliśmy implied oraz reverse implied odds, oraz jak je skalkulowaliśmy. Następnie zobaczyłeś pierwsze naprawdę kompleksowe kalkulacje EV dla sprawdzenia przed flopem dla set value. W tym artykule skoncentrujemy się na zagraniach przeciwnika, dotyczących ich zakresów oraz możliwych kontr dla tych zagrań.

Wartość oczekiwana z uwzględnieniem ewentualnego pasu

Ponieważ blefy i semiblefy mają duże znaczenie w tym artykule, ważne jest, aby w kalkulacji uwzględnić możliwość pasu przeciwnika, ponieważ wzór:

EV = Equity * (Win + Investment) - Investment

tego nie robi. W tym wzorze nie ma miejsca na pas przeciwnika. Aby to zrobić, należy bardziej ogólnie skalkulować EV:

EV = Pfold * Pot + (1 - Pfold) * (Equity * (Win + Investment) - Investment)

(Wygrasz pulę z prawdopodobieństwem Pfold; jeśli nie wygrasz bezpośrednio puli, to obowiązuje znana wartość oczekiwana). Pfold opisuje w tym wypadku prawdopodobieństwo spasowania przeciwnika. Wzór upraszcza się, jeśli założymy, że equity = 0 do:

EV=Pfold * Pot - (1 - Pfold) * Investment,

przy czym przegrana jest w tym wypadku po prostu twoim zakładem kontynuacyjnym. Jest tak w przypadku wszystkich czystych blefów: z definicji wygrasz z czystym blefem tylko wtedy, jeśli przeciwnik się podda.

Standardowe zagrania po flopie: zakład kontynuacyjny

Po podbiciu przed flopem, zakłady kontynuacyjne są najczęstszymi standardowymi zagraniami. Dlatego następnie przyjrzymy się dokładniej ich EV. Zastanowimy się przy tym, jak często gracz trafi rękę jakiej kategorii. Jednocześnie trzeba oczywiście dokonać założeń co do zakresu przed flopem, jak i zachowania po flopie z różnymi kategoriami rąk. Weźmy konkretny przykład:

SH, 100BB Stack size

Preflop: Hero is MP with XY
Hero raises 4BB, 1 fold, BU calls 4BB, 2 folds

Flop: (9.5BB) K, 5, 3 (2 Players)
Hero bets 7BB

Flop jest dość nieskoordynowany, tak więc są to klasyczne karty wspólne do postawienia zakładu kontynuacyjnego. Nie biorąc pod uwagę faktu, że także hero mógł oczywiście często sam coś trafić, powinniśmy rozważyć teraz następującą sytuację.

Hero zawsze przegra, jeśli BU będzie grać dalej. Czy zakład jest ciągle opłacalny, a jeśli tak, to jak opłacalny? Jakich założeń trzeba ku temu dokonać?

Określanie zakresów nie jest tematem tego artykułu, jednak nie obędzie się bez przypisania BU jakiegoś zakresu. Na podstawie tego przykładu należy wprowadzić także od razu kolejną koncepcję: częstotliwość, z jaką przeciwnik coś robi. Może się zdarzyć, że BU w tym wypadku zagra cold call z każdą parą na ręce, ale tylko z 30% konektorów w kolorze. Niektórzy gracze nie będą tego robić w ogóle, a niektórzy zawsze.

Bez dokładniejszych informacji można otrzymać całkowicie realistyczny wynik, jeśli zamiast 100% lub 0% cold calls dla konkretnej kategorii ręki założysz jakąś wartość pomiędzy. Możesz pozostawić tę wartość jako zmienną, aby potem zobaczyć, jak zmienia się cała wartość oczekiwana, jeśli podstawisz inną dla tego parametru.

Aby zbytnio nie komplikować tej analizy, założymy trzy różne kategorie dla BU. Opisują one względną częstość, z którą gra on tę kategorię (p(kategoria)):

• Pary na ręce: 22: p(pocket)
• Konektory w kolorze: 45s-KQs: p(SC)
• Silniejsze broadwaye: AQ, AJ, KQ: p(BW)

Ile kombinacji jest dla którego z tych zakresów? Jak już obliczyliśmy w poprzednim artykule, każda para oferuje sześć kombinacji, czyli dla par na ręce istnieją 42 kombinacje.

Dla każdej ręki w kolorze istnieją cztery różne kombinacje, czyli dla konektorów w kolorze istnieją 33 możliwości. Dla niesparowanych rąk jest 16 kombinacji, czyli dla broadwayów daje to 41 kombinacji.

Zatem button ma (kombinację ręki) z (prawdopodobieństwem):

Pojedyncze wartości prawdopodobieństw cold call mieszczą się pomiędzy 0 i 1. Tę konstrukcję można unaocznić w ten sposób, że rozważymy gracza, który zagrywa cold call tylko z parami na ręce. Dla niego p(SC) = p(BW) = 0 i p(pocket) = 1. Czyli z prawdopodobieństwem wynoszącym:

42 * p(pocket) / [33 * p(SC) + 41  * p(BW) + 42 * p(pocket)] = 42 * 1 / (33 * 0 + 41  * 0 + 42 * 1) = 1

ma on parę na ręce.

Co robi BU, jeśli zostanie skonfrontowany z zakładem? Będzie to oczywiście zależeć od jego własnej ręki, przez co nasuwa się pytanie: jak często BU trafi jaką kategorię ręki ze swoim zakresem?

Z podanym zakresem dla BU pojawia się możliwość albo nie posiadania niczego (następnie nazywana „miss”), albo trzymania mniej niż asa high, gutshota z 67s, lub samego asa high.

Kolejną opcją jest para < toppara z 45s, 56s i 22, 44, 66-99. Do tego dochodzi toppara z KQs i dwie trójki z 33 i 55. Ponieważ interesuje nas tylko wartość oczekiwana zakładu bez uwzględniania equity, pozostaje jedynie określić prawdopodobieństwo spasowania dla poszczególnych jego rąk.

Podsumować dają się tylko wszystkie nietrafione ręce z pf(miss), gutshoty z pf(gutshot), as high z pf(ace high), pary z pf(pair), toppara z pf(toppair) i sety z pf(set). Ostatnie dwie wartości będą wynosić prawie zawsze 0 i są przedstawione dla kompletności listy.

Jak dotąd, omówiliśmy i zgromadziliśmy wszystkie zmienne. Jak wspomnieliśmy, zakład kontynuacyjny jest w tym wypadku rozpatrywany jako czysty blef, czyli wartość oczekiwana inwestycji bez innej możliwości wygrania puli. Wartość oczekiwaną można obliczyć np. poprzez rozróżnienie przypadku według kategorii rąk przed flopem, aby dalej móc zmieniać prawdopodobieństwo cold call.

Wyjaśnienie: pierwszy termin z tych trzech części podaje prawdopodobieństwo dla jednej z trzech kategorii rąk u BU przed flopem. Z tej części, która jest przez to mnożona, wynika wartość oczekiwana dla czystego blefu po flopie przeciwko zakresowi oponenta. Należące do tego prawdopodobieństwa p(set) (i podobne) trzeba jeszcze obliczyć, pf(set) podaje, jak już wspomnieliśmy, prawdopodobieństwo pasu dla tej kategorii rąk.

BU trafił trójkę z 33 i 55, a więc prawdopodobieństwo 33 lub 55 z 22-99 wynosi najpierw 2/8. Jednak należy tu wziąć pod uwagę fakt, że jedna z trójek i jedna z piątek znajduje się już na stole, tak więc efektywnie nie mamy już sześciu, a tylko trzy możliwości dla 33 lub 55.

Zatem łącznie według tego jest 6*6 + 2*3 = 42 kombinacje, sześć z nich jest trójką, co odpowiada 6/42 = 0,14. We wszystkich pozostałych przypadkach BU ma parę < topparę. p(pair1), co daje wynik 36/42 = 0,86.

p(pair2) podaje prawdopodobieństwo dla pary < toppary z jednym konektorem w kolorze, czyli trafienia z 45s lub 56s. Z pierwotnych czterech dla 45s, 56s i KQs pozostają trzy, a w sumie 3*3 + 6*4 = 33 możliwe kombinacje. Zatem p(pair2) wynosi 6/33 = 0,18

Dla gutshota możliwe są cztery z 33 kombinacji, czyli p(gutshot) - 0,12, dla toppary możliwe są 3/33 kombinacje, co odpowiada 0,09. W pozostałych 20/33 BU nie trafił nic, p(miss) = 200/33 = 0,61.

Dla broadwayów z zablokowanym na flopie królem możliwych jest w sumie dziewięć kombinacji dla KQ (KQs są przypisane do konektorów w kolorze). Do tego dochodzi 2 * 6 kombinacji dla AQ i AJ, co daje w sumie 41 kombinacji. Z tego prawdopodobieństwo dla asa high z p(ace high) = 32/41 - 0,78, a dla toppary p(toppairBW) = 9/41 = 0,22. Teraz znamy już wszystkie prawdopodobieństwa, ale zanim przedyskutujemy wyniki, dla przejrzystości powinny one zostać przedstawione w formie tabeli.

Poza tym trzeba dokonać założeń dotyczących pasowania BU. Jego zakres na flopie został określony w kategoriach trójki, toppary, pary, gutshota i nietrafienia. Oczywiście wartość oczekiwana zakładu będzie w tym wypadku bardzo zależeć od prawdopodobieństwa pasu.

Ponieważ graf z tyloma zmiennymi nie jest możliwy do przedstawienia, to wraz z EV podamy 5 różnych zestawów wartości. Kto chce, może oczywiście założyć i podstawić dowolne inne wartości.

Można było się spodziewać pewnej tendencji: im bardziej loose gra przeciwnik, tym mniejsze jest EV. Warto zwrócić uwagę na ciągle dość wysoką wartość oczekiwaną zakładu kontynuacyjnego przeciwko średnim graczom. Nie pasuje on zbyt dużo, a mimo to blef przeciwko niemu jest zyskowny, nawet nie zważając na equity. Granica leży pomiędzy wartościami jego i gracza loose. W tym wypadku powinieneś powoli zastanowić się nad zyskownością twojego zakładu kontynuacyjnego i generalnie unikać czystych blefów.

Standardowe zagrania po flopie: blef przeciwko zakładom kontynuacyjnym na flopie

A teraz odwróćmy sytuację. Zastanów się, kiedy w porównywalnej sytuacji, w której przed flopem zagrałeś cold call, możesz blefować, i jak zyskowne będzie to zagranie?

Sposób kalkulacji jest podobny jak w poprzednim przykładzie. Najpierw na podstawie zakresu rąk i kart wspólnych określimy prawdopodobieństwo różnych rak po flopie. Na podstawie różnych możliwych reakcji można oszacować EV. W przeciwieństwie do poprzedniej kalkulacji, nie będziemy jednak wyjaśniać każdego kroku.

6max, 100BB Stacks

Preflop: Hero is BU
2 folds, CO raises 4BB, Hero calls 4BB, 2 folds

Pot: 9.5BB

Flop A: K, 9, 7

Flop B: A, T, 9

Flop C: 2, 7, 9

CO bets 7BB, Hero raises 23BB

Nie ma żadnej szczególnej historii gry pomiędzy CO i hero. Zakres CO przed flopem to: 22+, A2s+, K9s+, Q9s+, J9s+, T8s+, 98s, 87s, 76s, 65s, 54s, A8o+, K9o+, Q9o+, J9o+, T9o, 98o, 87o, 76o, czyli około 31% wszystkich rąk. Następnie założymy, że CO nieco zna hero i zawsze będzie stawiać zakład kontynuacyjny. Być może nie zdarzy się to w wielu sytuacjach, jest jednak prostsze i możliwe do opisania z mniejszą liczbą założeń niż możliwy check/call check/fold i check/raise. Jako kategorie rąk nasuwają się w tej sytuacji:

• Toppara+
• Środkowa para
• Para < środkowa para (P < MP)
• OESD, FD (sDraw)
• Gutshot (wDraw)
• Pozostałe karty (Air)

Także as high w tej sytuacji, przeciwko nieznanemu graczowi, nie jest dla CO więcej wart niż inne ręce z maksymalnymi outami toppary. W celu uproszczenia, zastosujemy następujące przekształcenie:

pf * Pot – (1 – pf ) * Raise = pf * (Pot + Raise) – Raise

Podbicie wynosi 23BB, w puli jest 9,5 + 7BB.

Tak jak w poprzednim wypadku:

EV =
P(TopPair+) * ( pf(TopPair) * ( Pot + Raise ) - Raise)+
P(MidPair) * ( pf(MidPair) * ( Pot + Raise ) - Raise)+
P(P < MP) * ( pf(P < MP) * ( Pot + Raise ) - Raise)+
P(sDraw) * ( pf(sDraw) * ( Pot + Raise ) - Raise)+
P(wDraw) * ( pf(wDraw) * ( Pot + Raise ) - Raise)+
P(Air) * ( pf(Air) * ( Pot + Raise ) - Raise)

Będziemy potrzebować także prawdopodobieństw dla różnych flopów:

Na flopie B niskie drawy do strita i koloru uważamy za słabe. Toppara + draw do koloru są określone jako toppara. Już w tym momencie rzucają się w oczy olbrzymie różnice pomiędzy flopami. Na flopie A zawarte są wszystkie kategorie gotowych rąk, do tego mało drawów i doza „powietrza”. Na flopie B agresor z reguły coś trafił, podczas gdy jego zakres na low card flopie jest dość mocno spolaryzowany.

Dla lepszego zrozumienia, podaliśmy ponownie dla każdego flopa prawdopodobieństwo ręki takiej jak powietrze (air, słaby draw i para < środkowa para).

Aby móc w końcu obliczyć EV, potrzebujemy znowu oszacowań pojedynczych prawdopodobieństw spasowania dla możliwych rąk. Udziały dla pf(toppara) ≠ 0 pochodzą z sytuacji, w których gracze tight mogą spasować słabe toppary (szczególnie na flopach B i C z niskimi asami lub dziewiątką ze słabym kickerem).

Można było oczekiwać takiego lub podobnego wyniku. Niektórzy gracze uważaliby flop C za najlepszy do blefu. To, że w rozpatrywanym tu przykładzie tak nie jest, bardzo zależy od faktu, że dziewiątka jest najwyższą kartą. Na flopie z siódemką jako najwyższą kartą blef byłby wyraźnie bardziej opłacalny z powodu zdecydowanie rzadziej pojawiającej się toppary.

Podsumowując, widzimy tu, że zakład kontynuacyjny jako środek taktyczny po flopie ledwo wystarcza. Gracz musi się kilkukrotnie odwinąć przynajmniej jak „średni gracz”, oraz bardzo rzadko pasować drawy lub także jakieś gotowe ręce, aby nie stać się celem bezpośredniego blefu.

Nawet jeśli w dwóch na trzy przypadki otrzymaliśmy pozytywny wynik, to nie zawsze doradzamy (przeciwko średniemu graczowi), inwestować 23BB dla niepewnych 0,7BB (zwracając uwagę na tylko oszacowane wartości).

Kolejnym wariantem, który możemy rozważyć na flopie C przeciwko graczowi tight, jest float. Z powodu zwiększonej liczby szacowanych wartości o zachowaniu przeciwnika, kalkulacja floatu nasuwa się tylko przeciwko dość prosto grającemu przeciwnikowi. Ciągle zakładamy equity wynoszące 0. Jeśli gracz ponownie podbija, to hero pasuje. Jeśli gracz czeka, to hero postawi 15BB, aby wygrać 23,5BB, a jeśli zostanie sprawdzony, to przegra.

Zatem EV wynosi:

EV=p(Check/Fold)*(Pot+BetFlop) - p(Bet)*(YourCallFlop) - p(Check/Call(Raise))*(YourCallFlop+YourBetTurn)

Do określenia pozostaje tylko prawdopodobieństwo, że CO na turnie zagra:

• Check/fold
• Check/call(raise)
• Bet

To możliwe założenie. Teraz nieco bardziej złożona część: określenie prawdopodobieństwa różnych kategorii rąk dla różnych kart na turnie.

EV floatu wynosi więc z założeniami do 5,28BB. Mniej niż blef raise w rozpatrywanej sytuacji, ale za to ze średnim niższym ryzykiem. EV jest niższe, ponieważ założenie daje mu mniej możliwości do poddania rąk ~ toppary na flopie. Jeśli częściej oczekujesz check/fold od dziewiątki, a szczególnie mniej niż check/call, to EV floatu się jeszcze zwiększa.

4-bet blef

Szczególnie przy stołach short handed ważnym tematem jest 4-bet. Z powodu dość dużej agresji przed flopem, konieczne jest między innymi zajęcie się 4-betem jako blefem. Zakresy twoich przeciwników będą zależeć mocno od twojego wizerunku przy stole i waszej historii gry. Dlatego jeśli chcesz włączyć do twojej gry przedstawione w tym artykule wyniki, to musisz być bardzo ostrożny, jeśli chodzi założone zakresy 3-betu i wejścia za wszystko twoich przeciwników przeciwko tobie.

Oczywiście wyniki będą się zgadzać z twoimi, jeśli zakresy przeciwników będą w miarę realne. Sytuacja:

SH, 100BB Stacks

Preflop: Hero is BU with ??
3 folds, Hero raises 4BB, fold, BB raises 14BB, Hero raises 31BB

Zakładając, że za każdym razem przegrasz, jeśli twój przeciwnik będzie grać dalej (co jest nawet bardzo realne), przeanalizujemy najpierw twoje EV:

Sprawdziłbyś za 69BB do puli, w której jest 131,5BB. Do tego potrzebujesz equity wynoszącego 34,41%. Dla porównania, tabela z equity różnych zakresów (niektóre z nich już widziałeś). W kolumnach podane jest equity poszczególnych rąk.

Jak widzisz, nie możesz w tej sytuacji grać niskich par na ręce przeciwko zakresowi 4-bet/fold, z A2s i 67s zawsze, z AQ tylko przeciwko ciasnym zakresom (ale jeśli 4-betujesz, to musisz też pasować przeciwko ciasnym zakresom). Przeciwko luźniejszym zakresom z AQ wsuwasz pieniądze na środek. Powinieneś już to wiedzieć, aby w przypadku, kiedy blef się nie uda, nie popełniać już błędu. Oczywiście nasuwa się pytanie o EV blefu. Wynika ono po prostu ze wzoru z początku artykułu:

EV=Pfold * Pot - (1 - Pfold) * Investment

Pot to w tym wypadku możliwe do wygrania 18,5BB, loss to -27BB, które przegrasz w przypadku dalszej gry BB. Wymagane prawdopodobieństwo pasu wynosi więc około 59%. Dla możliwych zakresów oznacza to mniej więcej:

Jeśli przeciwnik spłucze się przed flopem z QQ+, AK (34 kombinacje), to musi z przynajmniej 83 kombinacjami 3-betować, aby umożliwić zyskowny 4-bet. Byłoby tak przykładowo dla zakresu 77+, T9s, AQ+ lub takiego zakresu jak 44+, AK lub TT+, AJ+, KQ+. Jeśli jednak przeciwnik spłucze się przed flopem z zakresem AQ+, TT+ (62 kombinacje), to w ramach kontry musiałby 3-betować co najmniej 151 kombinacji, aby być zyskownym do blefu. Na przykład byłoby to możliwe z 22+, A2s-A5s, A9s+, AQo+, KQ+ oder 22+, AQ+, A2s+, T9s lub podobnym zakresem.

Card removal effect

Oprócz equity twojej ręki, przeciwko zakresowi wejścia za wszystko przeciwnika istnieje jeszcze jeden czynnik, który decyduje o zyskowności 4-betu: Prawdopodobieństwo, że się on uda.

Dotąd nie braliśmy pod uwagę jednego faktu: prawdopodobieństwa pusha (w tym wypadku po prostu założyliśmy, że przeciwnik na 100% spasuje lub na 100% zagra push) nie jest zależne od twojej ręki.

Zakres przeciwnika składa się z tym aspekcie z dwóch części. Części, z którą się spłucze i drugiej, z którą spasuje. Fakt, że masz określone karty lub nie, mniej lub bardziej przesuwa prawdopodobieństwa pomiędzy tymi częściami. To zjawisko nazywamy card removal effect, ponieważ usuwamy określone karty z zakresu rąk przeciwnika z powodu tego, że masz je sam.

W razie wątpliwości, przy blefowanym 4-becie powinieneś więc zawsze zdecydować się na rękę, która minimalizuje prawdopodobieństwo wejścia za wszystko przeciwnika. Jeśli chciałbyś przedstawić tę różnicę jako liczbę, zamiast mówić „ja mam asa i to jest ok, ponieważ przeciwnik wejdzie za wszystko z wieloma rękami Ax”, musisz oczywiście wziąć pod uwagę, że prawdopodobieństwa dla różnych zakresów 3-betu przesuwają się z powodu twojej ręki.

W praktyce robi się to, obliczając istniejące kombinacje. Następnie przedstawimy niektóre tabele z prawdopodobieństwami dla różnych zakresów 3-betu oraz all-in. Przykładowo powinniśmy do tego założyć dwa różne zakresy wejścia za wszystko: ciasnego z QQ+, AK i luźnego z TT+, AQ+.

Także przykładowo rozpatrujemy dwa zakresy 3-betu (Które w rzeczywistości będą bardzo różnie wyglądać): jeden mocno ukierunkowany na pary z 22+, AQ+, a drugi z kilkoma konektorami: 77+, AQ+, 67s-89s. W następującej tabeli podana jest liczba możliwych kombinacji dla poszczególnych zakresów. Raz bez uwzględnienia efektu card removal, a raz z jego uwzględnieniem dla czterech różnych rąk: AQ, AJ, KQ, A2.

Dla przejrzystości, zakresy będą określane także jako 1), 2), lub a), b). Jak już widzisz, liczby możliwych kombinacji przesuwają się częściowo w olbrzymim stopniu, np. ciasny zakres all-in 1) podzielony przez trzymanie AQ, będzie w sumie o (34-24) / 34 = 0,294, czyli prawie 30% mniej prawdopodobny.

Na podstawie tej tabeli można utworzyć także tabele dla różnych prawdopodobieństw. Podamy w nich udział dla każdej z czterech możliwych kombinacji z zakresu 3-betu i all-in, z którym przeciwnik wchodzi za wszystko. Dla porównania, raz z efektem card removal, a raz bez niego. Te wartości są obliczone w prosty sposób: liczba możliwych kombinacji zakresu wejścia za wszystko została podzielona przez liczbę kombinacji zakresu 3-betu. Jeśli przeciwnik 3-betuje np. z a) i wchodzi za wszystko z 1), to bez efektu card removal prawdopodobieństwo tego wynosi 34/110 = 0,309, czyli około 31%.

Załóżmy, że masz AJ. Wynika z tego następująca tabela:

Jeśli ma A2, to tabela wygląda tak:

A z KQ tak:

W większości przypadków prawdopodobieństwo all-in można więc zmniejszyć blockerem o około 10%. Powinno być przy tym jasne, że teoretycznie do blefowanego 4-betu nadają raczej ręce, których nie mógłbyś zyskownie sprawdzić. Bez pozycji obowiązuje to dla wszystkich wyszczególnionych rąk, z pozycją i mocniejszymi rękami powinieneś oczywiście także rozważyć sprawdzenie.

W grze musisz oczywiście zawsze mieć oko na twoje equity. Jak już wspomnieliśmy, nie jest możliwe zagranie 4-bet/fold z rękami, które dobrze grają przeciwko różnym zakresom. Zamiast tego, musisz często sprawdzać all-in, co tylko nieznacznie poprawia EV (twoje sprawdzenie jest tylko marginalnie +EV), a bardzo zwiększa wariancję. O tym, czy w określonych sytuacjach zagrasz z AQ 4-bet/call, czy z A2 4-bet/fold, musisz zdecydować według własnego uznania w trakcie gry. „Za” i „przeciw” nie jest jednak przedmiotem tej analizy.

Podsumowanie

To wszystko w trzeciej części. W kolejnej zajmiemy się innym aspektem 4-betu, przeanalizujemy sytuacje po flopie i przedstawimy analizę g-bucksów.

LINKI
Powiązane artykuły: Koncepcje matematyczne w no-limit Hold’em (1) - wartość oczekiwana i zakresy Koncepcje matematyczne w no-limit Hold`em (2) - combos & odds advanced Fora dyskusyjne: Podyskutuj o treści tego artykułu na forum Wideo: Seria: Koncepcje matematyczne w no limit Holdem 1-4 (w jęz. niem.)