Matematyka: Jak pomoże ci wartość oczekiwana EV?

Wprowadzenie

W tym artykule:

EV = zysk * prawdopodobieństwo wygrania - strata * prawdopodobieństwo przegrania
Jak obliczysz najlepszą akcję
Jak używać wzoru na EV do analizy gry

Wartość oczekiwana akcji podaje ci, ile przeciętnie osiągniesz zysku bądź straty, jeśli przeprowadzisz daną akcję. Jeśli znasz wartości oczekiwane wszystkich możliwych akcji w pokerze, to jesteś w stanie podjąć najlepszą decyzję.

Na przykład, aby zdecydować, czy lepiej w danej sytuacji sprawdzić, czy spasować, możesz obliczyć wartość oczekiwaną każdego z tych zagrań i ustalić, które zagranie będzie korzystniejsze. Taką decyzję możesz również podjąć na podstawie analizy liczby outów i oddsów, których znaczenie powinieneś bezwzględnie zrozumieć. Jednak z wartością oczekiwaną możesz posunąć się jeszcze dalej.

W tym artykule dowiesz się, jak obliczyć wartość oczekiwaną zagrania. Dowiesz się również, jak za jej pomocą z wielu możliwości wybrać najlepsze zagranie. Nauczysz się także używać wartości oczekiwanej do analizy sytuacji w grze, abyś mógł odpowiedzieć na pytania rodzaju „co musiałbym zrobić, aby…?“ lub "co by się stało, gdybym to zrobił?".

Do zrozumienia treści tego artykułu niezbędne jest zapoznanie się i zrozumienie zasady outów i oddsów. Powininieneś sobie również odświeżyć wiadomości o podstawach rachunku prawdopodobieństwa oraz przekształcaniu równań oraz układów równań.

Jak obliczysz wartość oczekiwaną?

Załóżmy, że ktoś składa ci ofertę. Pokazuje ci dwie koperty. W jednej jest 5 euro, a w drugiej 20 euro. Możesz je sobie obejrzeć, dotknąć gładkiego papieru, wyczuć banknoty, lecz nie wyczuwasz różnicy.

Możesz kupić jedną z tych kopert za 10 euro. Czy powinieneś to zrobić? Powie ci to wartość oczekiwana. Określi, ile średnio wygrasz lub przegrasz, jeśli taką decyzję będziesz podejmował raz za razem.

Do jej obliczenia będziesz potrzebował czterech danych:

Ile możesz przegrać?
Ile możesz wygrać?
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wygrasz?
Jakie jest prawdopodobieństwo, że przegrasz?

Wartość oczekiwaną oznaczamy jako EV (ang. expected value), a do obliczenia EV istnieje proste równanie wyjściowe.

EV = zysk * prawdopodobieństwo wygrania – strata * prawdopodobieństwo przegrania

Czyli od możliwych zysków odejmujesz możliwe straty. Wygrana to twój zysk, przegrana to twoja strata. Jeżeli kilka zdarzeń pozwoli ci wygrać, a kilka przegrać, wtedy powinieneś wykorzystać rozbudowane równanie:

EV = zysk_n1 * prawdopodobieństwo_n1 + zysk_n2 * prawdopodobieństwo_n2 + … - strata_k1 * prawdopodobieństwo_k1 - strata_k2 * prawdopodobieństwo_{k2 ...}

Równanie to określa:

wszystkie zdarzenia, jakie mogą mieć miejsce
zysk_n / strata_k: jaką kwotę wygrasz lub przegrasz, jeśli ma miejsce określone zdarzenie x?
prawdopodobieństwo_x: jak prawdopodobne jest wystąpienie danego zdarzenia?

Jeśli rozpatrujesz wszystkie możliwe zdarzenia, to możesz obliczyć dokładną wartość oczekiwaną. Najpierw sprawdzasz, co się w ogóle może przydarzyć. Potem musisz określić, co możesz w każdym przypadku wygrać lub stracić. Na zakończenie ustalisz, jakie jest prawdopodobieństwo występowania poszczególnych sytuacji. Mnożysz odpowiedni zysk lub stratę przez prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia i na końcu sumujesz wszystkie składniki.

W naszym przykładzie prawdopodobieństwo wzięcia jednej lub drugiej koperty wynosi 50%. Kopertę A weźmiesz na 50%, podobnie jak kopertę B.

Oznacza to, że na 50% wygrasz 5 euro, czyli pieniądze z koperty A. W 50% pozostałych przypadków wygrasz 20 euro z koperty B. To, co w każdym wypadku przegrasz, to 10 euro, które postawiłeś, aby móc w ogóle wybrać koperty. Oznacza to, że na 100% przegrasz 10 euro.

Wstawmy to do równania:

na 100% przegrasz 10 euro, gdyż musisz je wpłacić w każdym przypadku.
na 50% wygrasz 5 euro.
na 50% wygrasz 20 euro.

Równanie wygląda następująco:

EV = zysk(koperta A) * 50% + zysk(koperta B) * 50% – strata(zakład) * 100%
EV = 5 euro * 50% + 20 euro * 50 % - 10 euro * 100%

50% jest zawsze połową. 50% z 5 euro to 2,50 euro. 50% z 20 euro to 10 euro.

EV = 2,50 euro + 10 euro – 10 euro
EV = 2,50 euro

Oznacza to, że jeżeli zgodzisz się na taką wymianę, przeciętnie zyskasz na każdej 2.5 euro. Wartość oczekiwana jest dodatnia, więc dla ciebie sytuacja jest +EV. Z pojęciami +EV i -EV wciąż będziesz się stykał w pokerze i w społeczności PokerStrategy. Teraz już wiesz, co oznaczają.

Jak na podstawie EV podjąć właściwą decyzję?

Jak dotąd, wszystko wyglądało prosto, lecz może się skomplikować, jeśli zaczniesz analizować sytuacje z gry. Jeżeli na turnie musisz zdecydować, czy sprawdzić, czy spasować, to jest to bardzo proste: najpierw obliczasz wartość oczekiwaną dla sprawdzenia. Potem obliczasz wartość oczekiwaną dla spasowania. Następnie porównujesz obie liczby. Wyższa liczba mówi ci, które zagranie jest lepsze.

Przeanalizujmy następujący przykład. Masz dwa zdarzenia: A oraz B. Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 80%, a prawdopodobieństwo zdarzenia B wynosi 20%.

	zdarzenie A	zdarzenie B
prawdopodobieństwo	80%	20%

W powyższym przykładzie możesz typować, czy wystąpi zdarzenie A, czy zdarzenie B. Jeśli postawisz na zdarzenie A i ono rzeczywiście będzie miało miejsce, to wygrasz 2 euro. Jeżeli jednak wystąpi zdarzenie B, to przegrasz 4 euro.

Możesz również typować zdarzenie B i wygrać 4 euro, jeśli ono się pojawi. Jeśli się jednak się pomylisz i wystąpi zdarzenie A, to przegrywasz 2 euro.

	nastąpi zdarzenie A	nastąpi zdarzenie B
typowałeś zdarzenie A	wygrywasz 2 €	przegrywasz 4 €
typowałeś zdarzenie B	przegrywasz 2 €	wygrywasz 4 €

Aby wyznaczyć, czy lepiej jest typować A, czy też lepiej B, obliczasz wartość oczekiwaną dla twojego typu A oraz B. Następnie porównujesz obie liczby.

EV = zysk * prawdopodobieństwo wygrania – strata * prawdopodobieństwo przegrania
EV(A) = 2 € * 80% - 4 € * 20%
EV(B) = 4 € * 20% - 2 € * 80%

W przypadku wartości oczekiwanej dla A należy liczyć, że z jednej strony w 80% przypadków wygrywa się 2 euro oraz z drugiej strony w 20% przypadków przegrywa się 4 euro, czyli właśnie wtedy, gdy nastąpi zdarzenie B. Przeliczmy to teraz.

EV(A) = 2 € * 80% - 4 € * 20%
EV(A) = 1,6 € - 0,8 €
EV(A) = 0,8 €

Tym samym jest już pewne, że typowanie zdarzenia A przyniesie zysk, gdyż wartość oczekiwana jest dodatnia. Jeśli postawisz na zdarzenie A, wygrasz średnio 80 centów. Jak to jednak wygląda dla zdarzenia B?

EV(B) = 4 € * 20% - 2 € * 80%
EV(B) = 0,8 € - 1,6 €
EV(B) = -0,8 €

Od razu widzisz, że typowanie zdarzenia B przynosi straty. Wartość oczekiwana jest ujemna. Oznacza to, że za każdym razem, kiedy typujesz B, średnio przegrywasz 80 centów.

Jeśli porównasz obie wartości oczekiwane EV(A) oraz EV(B), od razu widzisz, że EV(A) jest większe od EV(B).

EV(A)>EV(B)

Raz 80 centów zysku, raz 80 centów straty. Oczywistą decyzją jest typowanie zdarzenia A. Tym samym poznałeś istotną zasadę pokera.

Jeśli musisz podjąć decyzję w czasie gry, to wybierz tę akcję, która ma największą wartość oczekiwaną ze wszystkich akcji.

Jest to bardzo ważna zasada. Zwróć uwagę na jej sformułowanie. Nie szukasz akcji, która przyniesie największy zysk, lecz największą wartość oczekiwaną. Wartość ta może być czasami ujemna, co oznacza, że stracisz. Pomimo tego, jest to jednak najlepsza akcja, jeśli przy innych akcjach doznałbyś jeszcze większej straty.

Jakie korzyści masz z wartości oczekiwanej w Texas Hold'em?

Załóżmy, że grasz na turnie przeciwko jednemu graczowi.

Trzymasz: T 9

Na stole leżą: 6 7 2 4

Masz gutshota i potrzebujesz ósemki, aby skompletować strita. Jesteś pewien, że przeciwnik trzyma jedynie over pair, dwie damy lub dwa króle.

Twoje outy są czyste, czyli potrzebujesz jednej ósemki, aby wygrać rozdanie. Są to cztery karty z 46, których nie widzisz. Prawdopodobieństwo, że na riverze pojawi się ósemka wynosi 4/46, czyli około 0,087 lub inaczej 8,7%. Jest to prawdopodobieństwo wygranej.

Prawdopodobieństwo przegranej jest po prostu prawdopodobieństwem, że rozdana zostanie jakaś inna karta z pozostałych 46 – 4 = 42 kart. Wynosi ono 42/46, czyli 0,913 lub inaczej 91,3%.

Brakuje jeszcze zysku i straty. W puli jest 5 $. Twój przeciwnik stawia 1 $ i tym samym pula wynosi 6 $. I tyle możesz wygrać.

Stracić możesz jednego dolara, którego musisz zapłacić.

W związku z tym, wartość oczekiwana twojego sprawdzenia wynosi:

EV(call) = zysk * prawdopodobieństwo wygrania – strata * prawdopodobieństwo przegrania
EV(call) = 6 $ * 8,7% - 1 $ * 91,3%
EV(call) = - 0,39 $

Wynik jest ujemny, czyli w długim okresie na każdym sprawdzeniu stracisz przeciętnie 0,39 $. Z każdego postawionego przez ciebie dolara przeciwnik otrzymuje 39 centów. Otrzymasz jedynie 61 centów ze 100 zainwestowanych. Niezbyt dobra inwestycja. Otrzymasz mniej, niż wpłaciłeś. Jest to –EV.

W praktyce pójdziesz oczywiście jeszcze dalej. To, że sprawdzenie przyniesie stratę, nic ci nie mówi o wartości oczekiwanej spasowania.

Wartość oczekiwana spasowania jest zawsze równa 0 (zeru).

EV(fold) = 0 $

Nie inwestujesz żadnych pieniędzy. Twoja możliwa strata jest równa zeru. Lecz również twoje możliwe zyski są równe zeru, bo nie możesz już wygrać rozdania, jeśli spasujesz.

Aby rozstrzygnąć, czy powinieneś sprawdzić, czy spasować, porównujesz obie wartości oczekiwane:

EV(fold) = 0 $
EV (call) = -0,39 $
EV(fold) > EV(call)

Oznacza to, że opłaca ci się spasować, zamiast sprawdzać.

Co jeszcze daje ci wartość oczekiwana?

Granie w pokera oznacza poszukiwanie zagrań, które mają najwyższą wartość oczekiwaną spośród wszystkich akcji możliwych w danej sytuacji. Jeżeli wartość oczekiwana tej akcji jest większa od zera, to zyskujesz.

Analizując możliwość sprawdzenia w powyższym przykładzie możesz postawić pytanie: jak wysoka musiałaby być pula, abym mógł opłacalnie sprawdzić?

Pula występuje w równaniu jako możliwy zysk.

EV(call) = zysk * prawdopodobieństwo wygrania – strata * prawdopodobieństwo straty

Chcesz się dowiedzieć, kiedy wartość oczekiwana przyjmie pozytywną wartość, czyli kiedy równanie:

EV(call) > 0

będzie prawdziwe.

Oba równania możesz teraz porównać. Otrzymasz wtedy:

EV(call) > 0, jeśli:

zysk * prawdopodobieństwo wygrania – strata * prawdopodobieństwo przegrania > 0

Przestawmy teraz to równanie tak, aby otrzymać zysk, którego szukamy. Jeśli sobie z tym nie radzisz, to poszukaj w internecie stron, na których znajdziesz odpowiednie zasady przestawiania równań.

EV(call) > 0, jeśli:

zysk * prawdopodobieństwo wygranej – strata * prawdopodobieństwo przegranej > 0
zysk * prawdopodobieństwo wygranej > strata * prawdopodobieństwo przegranej
zysk > strata * prawdopodobieństwo przegranej / prawdopodobieństwo wygranej

Dla wszystkich zmiennych po prawej stronie równania znasz konkretne wartości:

strata = 1 $
prawdopodobieństwo przegranej= 42/46
prawdopodobieństwo wygranej= 4/46

Otrzymasz następujący wynik:

EV(call) > 0, jeśli:
zysk > strata * prawdopodobieństwo przegranej / prawdopodobieństwo wygranej
zysk > 1 $ * 42/46 / (4/46)
zysk > 1 $ * 1932/184
zysk > 10,5 $

Pula musi być większa, niż 10,5 $, aby twoje sprawdzenie w wysokości 1 $ się opłacało. To już powinieneś znać z artykułu o oddsach i outach. Oddsy na twojego gutshota na turnie są w wysokości 1:11. Dowiedziałeś się, że możesz wpłacić twój zakład, jeśli otrzymasz co najmniej jedenaście razy więcej, niż wpłaciłeś.

Postępując zgodnie z zasadą wartości oczekiwanej, otrzymałeś taki sam wynik, który już znasz z analizy oddsów. Istnieje bowiem bardzo proste powiązanie. Prawdopodobieństwo, że trafisz jeden z twoich outów do gutshota wynosi 4/46. 4/46 to około 0,087, czyli również 8,7% (po prostu pomnożyć razy 100%). Takie jest prawdopodobieństwo, że pojawi się jeden z twoich outów.

Inaczej mówiąc: w zaokrągleniu, na jeden z 12 przypadków (100% / 8,7%) możesz gutshota poprawić do strita. Amerykański sposób zapisywania jest następujący 11:1 – w 11 przypadkach nie trafisz outa, a w jednym przypadku trafisz. Tym samym również w ten sposób otrzymałeś znane ci oddsy 11:1. Możesz wartość oczekiwaną przeliczyć bezpośrednio na oddsy lub pot odds.

Taka sama zasada, lecz inny sposób.

Podsumowanie

Podsumujmy. Aby obliczyć wartość oczekiwaną, po prostu porównujesz zysk ze stratą, w zależności od prawdopodobieństwa wygrania lub przegrania.

EV = zysk * prawdopodobieństwo wygrania – strata * prawdopodobieństwo przegrania

Teraz wiesz, jaki zysk lub stratę osiągniesz przeciętnie na jednym zagraniu w długim okresie czasu.

W wielu zastosowaniach będziesz jednak używał ogólnego równania, w którym zysk i strata oznaczane są jako wypłata. Jeśli wypłata jest ujemna, tracisz. Jeśli jest dodatnia, zyskujesz.

EV = wypłata₁ * prawdopodobieństwo₁ + wypłata₂ * prawdopodobieństwo₂ + … + wypłata_n * prawdopodobieństwo_n

Jeśli chcesz przeanalizować możliwe zagrania, możesz się zastanowić nad możliwymi sytuacjami w grze, ich prawdopodobieństwem oraz nad zyskiem lub stratą w danej sytuacji. Wstawiasz to do równania i otrzymasz wartość oczekiwaną.

Jeśli masz wiele możliwości do wyboru i chcesz wiedzieć, która jest najbardziej opłacalna, to dla każdej możliwości obliczasz sobie wartość oczekiwaną. Następnie je porównujesz. Najwyższa wartość oczekiwana mówi ci, która akcja jest najlepsza.

Nauczyłeś się, jak możesz opierać swoją grę na solidnym matematycznym fundamencie. Początkowo te wszystkie obliczenia wyglądają na skomplikowane, jednak są całkiem proste. Jeśli nie wszystko zrozumiałeś lub czegoś nie jesteś zbyt pewny, to zapytaj na forum.

Wiele przyszłych konceptów i strategii gry zakłada, że potrafisz liczyć wartość oczekiwaną. Zainwestuj więc wystarczająco dużo czasu, gdyż zrozumienie zasady wartości oczekiwanej jest kamieniem milowym w twojej pokerowej karierze.

LINKI

	Spokrewnione artykuły: Gra po flopie: pokerowa matematyka - outy i oddy Value raise z drawem na flopie
	Forum: Porozmawiaj o tym artykule na forum