Original de brustefanix
Determine a quantidade de numeros inteiros positivos "A" menores ou iguais a 31! tais que 3ª+A é divisivel por 31.(ahuauha essa eu fiz em uma prova ai q dps falo qualé)
Aqui vc tem que usar alguns pequenos teoremas da álgebra I (básica :D), como o pequeno teorema de fermat e o teorema chinês do resto. Assumindo que sabemos eles, vem:
3^30=1(mod31), sendo assim, 3^a(mod 31) é periódico, período do divisor = 30.
É fácil ver que a(mod31) é periódico tb, período 31. Dessa forma, 3^a+a(mod 31) tem período 30 * 31 = 930.
temos, pelo tcr, 3^ɸ(x,y) + ɸ(x,y) = 3^x+y(mod31); com 0<=x<=29 e y entre 0 e 30. Agora tu deve fixar uma e variar a outra. Fixa x e varia y, 3^x+y percorre todas as classes de mod31 (31 classes).
ou seja, 3^m+m (m entre 0 e 929 - tcr acima) passa 30 vezes por cada classe do mod31.
como 31 divide 930 (que é 31*30), 3^n+n=0(mod 31) para 31!/31 = 30! inteiros >0 e menores ou iguais a 31!:P
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Agora, seja p um primo diferente de 2 e 5. Prove que ele divide infinitos termos da sequencia 1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, ...
