Нэш

У меня была опечатка в одной из ячеек экселя, скобочка не там стояла, со второго раза заметил и сразу всё сошлось, исправил ниже

Оригинал пользователя Nik1952
Тарас, не превозноси Вольфрам. Рассчитай по нему равновесие Неша для следующей упрощенной игры.
Двоим игрокам дается случайное число от 0 до 1. На вскрытии выигрывает игрок с меньшим числом. Игрок может поставить в банк 0 или 1. Первоначально банк равен 1.
Если 1-й ставит 1, то 2-й игрок может или сказать пас или колл.
Если 1-й говорит чек (ставит 0), то второй или чекает или ставит. Если 2-й ставит, то 1-й или колл или пас.
Рассчитай равновесную стратегию Неша на своем вольфраме.

[Более правильное описание методики решения тут: ссылка. А это сообщение уже оставлю без исправления.]

Это же вообще простейшая задача младшего уровня, либо ты совсем плохо ты про меня думаешь, либо есть какой-то подвох. Давай проверим.

Пусть игрок без позиции будет игроком №1, а игрок в позиции игроком №2.

У нас есть первая очевидная часть нэш уравнения, что ЕВ ставки с сильными числами (близкими к нулю) игрока 1 должно приносить ему прибыли столько же, сколько приносит и ставка с этим числом, что бы он был индеферентен к чеку и не мог улучшить свою игру изменяя ставку на чек или наоборот.

Для игрока 1 у самых слабых чисел (близких к 1) нету плюсового чека всё равно, потому что игрок 2 с числами еще слабее будет блефовать, а не вскрываться ответным чеком. Это легко доказать формально, но не будем тратить время на лишние мелочи. Раз плюсового чека для блефов игрока 1 нету, тогда ФЭ для блеф ставки со слабыми числами игроку 1 надо 50%, исходя из очевидной пропорции отношения размера ставки к банку, то есть отношения риска к прибыли. А это означает, что игрок 2 будет на ставку выкидывать половину своих чисел.

Отсюда очевидно, что на чек игрока 1 игрок 2 должен ставить ровно 50% от своих чисел. Тогда сильные числа игрока 1 будут индифферентны к чеку или ставке.

Так как из очевидной пропорции шансов банка любому игроку после колла выиграть вскрытие надо 1 раз из 3, то, соответственно, 1/3 от 50% чисел в ставке игрока 2 должна быть блефом. И по очевидным причинам (которые тоже легко доказать) в данной игре это должны быть самые плохие(слабые) числа, а не какие-то другие.

Таким образом очевидна стратегия игрока 2 против чека игрока 1 - ставить числа от 0 до 1/3, чекать с числами от 1/3 до 5/6 и ставить с числами от 5/6 до 1. Что бы иметь равновесие как по количеству блефа, так и общему обьёму ставки в чек.

В случае же, если игрок 1 делает ставку, для игрока 2 очевидное равновесие будет фолдить половину своих чисел, что бы дать 50% ФЭ, по указанным выше причинам. И очевидно, что в фолд должны идти самые худшие (слабые) числа. То есть с числами от 0.5 до 1 игрок 2 будет играть фолд на ставку, а с числами от 0 до 0.5 будет коллировать ставку.

Для достижения равновесия очевидно, что для того, что бы у игрока 2 не появилась мотивация изменить свою стратегию игры против чека, игрок 1 должен отвечать на ставку таким образом, что бы именно эти 50% чисел было выгодно ставить игроку 2, а не больше или меньше.

Для этого необходимо, что бы у самого младшего (пограничного) числа из старшей группы чисел игрока 2 МО ставки было ровно нулевое. Для этого игрок 1 должен избавиться от лишних сильных чисел в своём чеке, сделав с ними ставку вместо чека. И избавится он должен именно от такого количества, что бы у всех чисел игрока 2 сильнее, чем 1/3, была плюсовая ставка, а вот у всех чисел младше 1/3 плюсовой ставки уже не было, и они были в чеке, а не в ставке.

А это в свою очередь означает, что игрок 2 после своей ставки должен выигрывать вскрытие с числом 1/3 ровно в 50% случаев после колла игрока 1, что бы МО ставки стало равным МО чека. И тогда с числами еще сильнее МО ставки станет выше, а с числами слабее МО ставки станет ниже, по очевидным причинам.

Так как пока не известно, сколько ФЭ будет оптимально игроку 1 давать игроку 2 после своего чека, составим систему уравнений.

Пусть Х будет весь обьем чисел, с которыми игроку 1 надо делать ставку первым. По тем же причинам что и ранее, в Х будет входить ровно вдвое больше старших сильных чисел, чем самых плохих младших чисел в качестве блефа.

Легко доказывается, что если рейз делать запрещено правилами такой игры, тогда нет причины (дополнительной выгоды) для игрока 1 играть чек с лучшими своими числами, а ставку делать со следующими после них чуть менее лучшими числами. Точно так же легко доказывается, что нет причины (дополнительной выгоды) для игрока 1 блефовать с числами лучше, чем самые плохие, а с числами хуже играть чек. Думаю для наших целей это лишнее.

Итого, Х состоит на 2/3 из самых сильных чисел и на 1/3 из самых слабых, хотя пока что мы и не знаем какой обьем всего Х, чему он равен. Составим уравнение. Нам нужно, что бы более сильных (чем 1/3) чисел в спектре чека игрока 1 было ровно вдвое меньше, чем весь обьем его колла на ставку, в этом случае игрок 2 выиграет вскрытие как раз ровно в 50% случаев. Так же очевидно, что обьем колла на ставку будет зависеть от необходимого FE. Запишем это всё:

1-X = (0.333(3) - X*2/3) * 2 + FE * (1-X)

Тут сразу 2 неизвестных. Поэтому составляем второе уравнение для второго неизвестного:

FE = (CEV + 1) / (1 + 1)

где CEV это МО чека игрока 2 с пограничным блеф числом, которое, как мы уже знаем, равно 5/6. И, соответственно:

CEV = (1 - 5/6 - X/3) / (1-X)

Далее заменяем, и получаем:

1-X = (1/3 - X*2/3) * 2 + FE * (1-X)
FE = ((1/6 - X/3) / (1-X) + 1) / 2

И вот мы составили систему уравнений. И теперь её надо решить для нахождение окончательного равновесия нэша для указанной тобой игры.

Так вот именно эту систему уравнений и я не хочу решать сам, а хочу, что бы за меня этой долгой и тяжелой рутиной занималась какая-то математическая программа. Поэтому я просто копирую эти уравнения в вольфрам и он сразу показывает мне готовое решение.

Вот и вся цель использования вольфрама, либо любого из его аналогов, которых много. В том числе и для более сложных задач очень разных типов. Никаких больше чудотворных свойств я вольфраму не приписываю.

А ты мне говоришь, что якобы я превозношу вольфрам, то есть обращаюсь к нему примерно так: "О чудо машина, о божественный интеллект, вот тебе текст задачи, а ты его прочитай и сама найди равновесие нэша!".

А это несправедливо, ведь я нигде ничего подобного не утверждал (и в прежних темах тоже).

Вот картинка из вольфрама, сразу даётся график для красоты и наглядности, внизу показаны конкретные значения решения, и можно так же открыть более подробное решение по шагам при желании:

Так же я вписал эти формулы в эксель, и в экселе точное решение мне показало Х≈0.2396, а в вольфраме почему-то аж целых 0.25. В экселе я все перепроверил, решение ≈0.2396 точное, а 0.25 теряет равновесие. Сейчас нашел, что была опечатка в одной из ячеек, после её исправления эксель показал правильное значение, такое же как в вольфраме.

То есть полное равновесие для этой игры будет такое:

Для игрока без позиции:

- ставить первым ровно в 25% случаев, остальные числа чекать. А более конкретно, ставить с числом 1/6 и более низкими числами, а так же с числом 11/12 и более высокими числами, вплоть до 1, либо вместо чисел старше 11/12 ставить с ровно половиной от любых чисел между 5/6 и 1;

- после своего чека на ответную ставку коллировать 4/5 своих старших чисел (сильных, которые ближе к 0), выкидывать 5/9 своих младших чисел (слабых, которые ближе к 1). А более точно - в спектре чек-колла будут числа от 1/6 до 3/6, а в спектре чек-фолда будут числа от 3/6 до 11/12.

Для игрока в позиции:

- в ответ на ставку соперника фолдить 50% худших чисел (которые ближе к 1) и коллировать ставку c 50% лучших чисел (которые ближе к 0), по границе числа 0.5;

- в ответ на чек делать ставку с числами ниже 1/3 и выше 5/6, с остальными числами чекать в ответ.

Простейшая задача, если текстом её тут не расписывать, то всего за несколько минут составляется система из двух уравнений и вольфрам выдаёт мгновенный результат решения этой системы.

Тарас. Решение не правильное. Это не пуш-фолд. Посчитай еще ожидаемый выигрыш.
Также напиши, что 1-му делать, если на чек он получит пуш. Какой процент рук он должен коллировать?
И ты зря много эмоций вкладываешь.
Пример, как раз показывает, что считать равновесие по Нешу не так легко.

Оригинал пользователя Nik1952
Тарас. Решение не правильное. Это не пуш-фолд.

Чем неправильное? Напиши пожалуйста где ошибка, в чём она заключается. Сразу правильное решение не пиши, мне б хотелось самому найти.

Если это не пуш фолд, тогда против ставки автоматически должен существовать рейз. А а твоём условии чётко указано, что рейза нету. Получается полное противоречие. Если ставку нельзя рейзить и одновременно нельзя сделать ставку другого размера, тогда чем это отличается от пуш-фолда?

Если есть какое-то отличие от пуш-фолда, то напиши пожалуйста в чём это отличие заключается. И на всякий случай еще еще раз полное условие - какие размеры ставок можно делать, какие нельзя, какие рейзы можно делать, какие нельзя.

Оригинал пользователя Nik1952
Также напиши, что 1-му делать, если на чек он получит пуш. Какой процент рук он должен коллировать?

Там же на картинке вольфрама внизу решение, y=5/9, то есть игрок 1 после чека должен коллировать 4/9 своих старших рук, а фолдить должен 5/9 младших рук.

Оригинал пользователя Nik1952
Посчитай еще ожидаемый выигрыш.
Пример, как раз показывает, что считать равновесие по Нешу не так легко.

Если для игроков есть большое разнообразие стратегических возможностей, то конечно же не легко, это требует очень большого обьёма вычислений. Но сама методика то простейшая и линейная. А ты написал очень простую задачу, у игроков очень ограниченное число возможностей. Тут обьем вычислений маленький, поэтому и легко. Так же как и легко выкопать лопатой маленькую яму. Но непомерно трудно лопатой выкопать большой водоканал длинной в 500 километров. Но последнее ведь не означает, что сама методика выкапывания ямы лопатой трудная и сложная для понимания или реализации.

В рамках твоего условия существует бесконечное множество разных тождественных равновесий, удовлетворяющих нужному условию - соперник соперник не может улучшить свою игру в ответ.

Например, игрок 1 может блефовать ставкой первым с любыми номерами выше 5/6, а не только с номерами выше 11/12. Главное только, что бы общее количество блефа было ровно 1/12 по обьему, а состоять эта 1/12 может из любых чисел старше 5/6. Но при этом ожидаемый выигрыш будет полностью одинаковый для обоих. Потому что для игрока 1 у всех чисел выше 5/6 нулевое МО в чеке и игрок 2 никак не может улучшить свою игру, что бы получить более высокое МО против такой вариации игрока 1. И лишь у чисел ниже 5/6 появляется более высокое МО чека для игрока 1, которое делает чек более выгодным для игрока 1, чем ставка с этим числом.

Посчитал цену игры. В среднем игрок в позиции за каждый розыгрыш получает (54+1/6)% от изначального банка 1. А игрок без позиции, соответственно, за каждый розыгрыш получает (45+5/6)% от этого изначального банка.

Оригинал пользователя Nik1952
И ты зря много эмоций вкладываешь.

Почему же зря, ведь это очень положительные эмоции. Я вот сколько времени потратил, расписав для тебя всё подробно, именно в надежде, что ты покажешь мне, где ошибка, я буду очень рад узнать про неё.

Никита, возможно форма записи решения неправильная, вот более полная форма:

Под эмоциями я понимаю, что ты пишешь, что это легко, просто и т.п.
Ты просто приводи решение без оценок типа "это для детей", "легко сделать". Это не только к этой теме относится. Дело в том, что такими оценками ты можешь негативно влиять на других игроков, для которых это может быть не "простым".

Например, ты пишешь:

Это же вообще простейшая задача младшего уровня, либо ты совсем плохо ты про меня думаешь, либо есть какой-то подвох.

Во-первых, я тебя очень уважаю и думаю о тебе, как о знающем и умном человеке. Я и сам ошибаюсь, а ты меня поправляешь. Это очень хорошо.

Во_вторых, что-то для тебя может быть простейшим, для другого игрока нет. Читая твой текст и не понимая его, человек испытывает дискомфорт. Форум не для того, чтобы показывать свое превосходство над другими, а чтобы помогать друг другу.

В-третьих, есть сильные игроки. А если они почитают наши посты и напишут, что мы тут вообще ничего не понимаем в игре? Наверно, нам это не понравится. Другое дело, если они просто напишут, что надо делать так-то и так-то. А, если объяснят почему так, то им цены не будет.

Возвращаясь к этой задаче, скажу сразу, что я ее не считал на бумаге. У меня есть программа, которая считает равновесие Неша для этой задачи для заданного числа игроков (это начальное приближение для реального покера). Программа считает приближенно методом Монте Карло. Для 2-х игроков она дает другие числа. Мне был важен алгоритм. Я немного тебя "поэксплуатировал", поскольку понимал, что ты будешь решать на бумаге.
Я потрачу некоторое время и подробно разберусь в твоем решении. Пока беру паузу.

Спасибо за подробный ответ Никита. Я учту на будущее.

Если твоя программа дала другой результат, то возможно ошибка у тебя в программе. Давай проверим.

Если ты мне напишешь результат из твоей программы, как должен играть каждый игрок, тогда я тебе в ответ могу написать, как другой игрок в ответ может улучшить свою игру и получить больше МО, что и будет являться доказательством отсутствия равновесия.

Потому что я свой результат проверил разными способами и он везде верный, в каждом месте соблюдается принцип равенства - ни одна сторона не может улучшить свою игру. То есть любая другая стратегия, кроме той, что я написал, нарушает равновесие и позволяет другому игроку улучшить своё математическое ожидание по сравнению с ожиданием (54+1/6)% против (45+5/6)%.

Может быть у тебя слишком длинная линия рандомизации псевдослучайных чисел и поэтому она недостаточно рандомная, что вызывает перекос или повторения циклов чисел, может быть где-то банальный недосмотр в коде, который нарушает логику изначально корректного алгоритма. Мало ли что, надо искать.

Так же я придумал более общий и более полный вариант записи решения, который более полно описывает все бесконечное множество разных и полностью тождественных равновесий нэша для этой задачи. Может быть такой вариант тебе больше понравится или как-то поможет, вот он:

Вариант выше при равновесии даёт такое же МО, как и первоначальный. Первоначальный это просто его частный случай. Но это только в вакууме. А на практике это не так. Поэтому что в практической игре соперник может допускать ошибки, и вариант выше не оптимально собирает дополнительную прибыль с этих ошибок.

Поэтому в игре, именно в практической игре, как и учит теория игр, надо учитывать факт того, что соперник может сыграть не идеально. И в экономике, и в спорте, и в покере, и где угодно еще. И, при необходимости, даже учитывать вероятность разного типа возможных ошибок, исходя из статистики предыдущих случаев.

Поэтому вот такое решение ниже, которое я первоначально написал, и которое полностью тождественное общему, в реальности будет иметь более высокое математическое ожидание для игрока 1 против возможных ошибок соперника:

Потому что стратегия выше получает больше МО для игрока 1 против некоторых ошибок соперника, если соперник их делает. А если не делает, тогда ничего не поменяется. Например, если игрок 2 решит слишком мало блефовать - то с числами из диапазона 5/6-11/12 игрок 1 может получить дополнительное МО после своего чека (хотя в равновесии МО нулевое), в то время как если бы игрок 1 потратил эти числа на блеф - он бы потерял своё дополнительное МО. А если игрок 2 будет блефовать лишнее, тогда разницы не будет. В итоге есть "бесплатная выгода".

Точно так же и сильные числа игрока 1 рискуют в пустую снизить МО, если игрок 1 будет пушить первым числа от 1/6 до 1/3, а чекать числа от 0 до 1/6, а потом окажется, что игрок 2 играет очень сильный оверфолд (фолдит более чем 2/3 спектра в данном случае) - в этом случае числа близкие к 1/3 начнут нести лишние убытки для игрока 1. А зачем эти убытки на ровном месте? Это непрактично, в замен то ничего не будет, никакой выгоды.

Есть так же и другие комбинации отклонений, но это самые простые для наглядности.

Поэтому с практической точки зрения сплитить является не самым лучшим вариантом для игрока 1, лучшим вариантом будет ставить свои самые крайние числа, ибо это имеет шанс дополнительного МО при ошибках соперника, а сплиты этот шанс теряют за просто так. Хотя в равновесии в вакууме все варианты сплитов тождественные и можно сплитить как угодно.

Есть еще предложение. Давай упростим условия игры - теперь игроку 2 нельзя делать ставку. Игрок 1 может играть ставку в банк или чек, а игрок 2 может играть колл или фолд против ставки, и всегда обязан чекать в ответ против чека. Стартовые числа раздаются всё так же - равномерно рандомно от 0 до 1.

Какую равновесную стратегию найдёт твоя программа перебора для обоих игроков? Напиши пожалуйста эту стратегию. А я потом напишу систему уравнений, и сравним результаты, может быть что-то прояснится.

Прикольно что про индифферентность речь пошла выше, а я вчера в теме про блеф хотел написать об этом )) Как раз книгу Джуанды читать начал. Бывают же совпадения )))
Тогда здесь напишу...

Вот что у меня получилось:

Выходим на флоп с 400 руками из 1326. Диапазон полностью полярный для простоты. Ставки все пот-бет. Начальный пот = 10
Тогда чтоб была индифферентность, то должны ставить примерно с такими частотами:

(Value bet / Bluff / check-fold)

Flop (80 / 190 / 130)
Turn (80 / 100/ 220)
River (80 / 40 / 280)

Если ставки пол пота, у меня получилось так:

Flop (80 / 110 / 210)
Turn (80 / 62 / 258)
River (80 / 27 / 293)

И вот, мне не очень понятно, какие сайзинги лучше предпочесть для блефа. Чем отличается первый случай индифферентности от второго? Винрейты те же, но дисперсия разная? Или какие-то другие отличия? И имеет ли эта индифферентность какое-то отношение к равновесию Нэша?

ЗЫ. И еще не очень очевидно что по всем линиям розыгрыша от флопа до терна будет получаться один и тот же результат по фишкам, на первый взгляд кажется что числа разные получаются, надо разобраться... Наверное индифферентность по каждой отдельной улице не дает полную индифферентность по линии. Возможна ли полная индифферентность с какими-то частотами? Т.е. чтоб в итоге в конце каждой раздачи, независимо от действий оппа, сумма та же получалась.

ЗЫ2. Может быть, конечно полная индифферентность и есть по всему розыгрышу и именно средний результат все время одинаковым по фишкам будет, что бы опп не делал (если я не ошибся с частотами ставок). Просто интуитивно это понять сложновато, а посчитать быстро именно среднее по всем вариантам не выйдет...

А про числа задачка прикольная! Можно с дискретными числами поиграть в такую игру (случайные числа от 0 до 100). Может конкретно плюсануть можно против какого-нибудь фиша (или даже не фиша) )))

Еще интересно как дискретность повлияет на результат в зависимости от шага...

З.Ы. Или покер с такими правилами: сдают по 1-й карте и один раунд ставок, рейзов нету. (А можно и с рейзами). Тут уже условия равные для обоих, есть баттон. В такую игру даже очень интересно поиграть было бы. И интересно какой винрейт можно получить по перфектной стратегии против среднего по уровню игрока...

Еще, можно было бы попробовать полностью решить такой покер: 2 раунда торговли, всем сдают по 1 карте на первом. На втором сдают общий борд из 2-х карт. Рейзить можно. Но, наверное, это чертовски сложно решить точно... Просто интересно как очень упрощенная модель для холдема.

Сначала посчитать ранжир комбинаций. Это самое простое.

ЗЫ. Запатентовать игру, создать свой покер-румчик с ней. Назвать можно, например, "Simple Hold'em" (игру).
В самом начале много фишей будет ))
Но и профи тоже набегут, которые хорошо и быстро считать умеют, чтоб этих фишей "рвать"

ЗЫ2. Еще более усложненная модель с ривером (без терна), но в комбинации можно использовать только 2 карты борда. Три раунда торговли. Эта мини-модель уже намного ближе к холдему и считать куда проще чем в холдеме, особенно префлоп )) И игра тоже довольно интересная выходит...

ЗЫ3. Интересно, кто в последнем варианте игры будет считаться нитом
Тот, кто только с тузом на префлопе рейзит? Или тот кто иногда с королем тоже будет нит? )))

Оригинал пользователя BelFish1
Вот что у меня получилось:

Для какой именно задачи это получилось?

Оригинал пользователя BelFish1
Выходим на флоп с 400 руками из 1326. Диапазон полностью полярный для простоты.

В данном случае есть 399 полностью разных полярных диапазона. Самый слабый включает в себя 1 натс и 399 рук с полностью нулевым эквити. Самый сильный будет состоять из 399 натсов и 1 руки с 0% эквити. В промежутке будут остальные 397 диапазонов. И все полярные. И для разных диапазонов игра может меняться, и сайзинги могут меняться.

Нужно писать точное условие.

Оригинал пользователя BelFish1
(Value bet / Bluff / check-fold)

Flop (80 / 190 / 130)
Turn (80 / 100/ 220)
River (80 / 40 / 280)

Если ставки пол пота, у меня получилось так:

Flop (80 / 110 / 210)
Turn (80 / 62 / 258)
River (80 / 27 / 293)

И вот, мне не очень понятно, какие сайзинги лучше предпочесть для блефа. Чем отличается первый случай индифферентности от второго?

Мне не понятно, что означают эти числа и в чём конкретно твой вопрос. Что именно ты хочешь узнать?

Любой случай индеферентности означает, что с какой-то рукой (либо в какой-то ситуации, если речь не о руке) у игрока есть выбор между 2 или более разными стратегическими опциями, и математическое ожидание этих опций для него равное. Чем разные ситуации или руки, находящиеся в индеферентности к выбору действия, вообще должны отличатся друг от друга? По какому принципу? Мне не понятен вопрос.

Оригинал пользователя BelFish1
Винрейты те же, но дисперсия разная? Или какие-то другие отличия? И имеет ли эта индифферентность какое-то отношение к равновесию Нэша?

Например, если нам нужно для достижения равновесич, что бы соперник делал ставку строго с половиной своего спектра, и наша стратегия игры ровно половине его спектра создает плюсовую ставку, и ровно другой половине его спектра создает убыточную ставку, тогда руки, находящиеся на границе между "половинами" будут индеферентны к ставке и чеку. Таким образом мы видим чёткое доказательства наличия равновесия на этом конкретном этапе. Это не означает автоматически, что на других этапах тоже есть равновесие. Но если на всех этапах индеферентность "находится в правильном месте", тогда значит везде есть равновесие.

Оригинал пользователя BelFish1
ЗЫ. И еще не очень очевидно что по всем линиям розыгрыша от флопа до терна будет получаться один и тот же результат по фишкам, на первый взгляд кажется что числа разные получаются, надо разобраться...

Напиши полные условия задачи и что требуется найти, какая цель. Тогда может прояснится. Пока что мне тоже ничего не понятно, что и ради чего делается и какие критерии и цели влияют на выбор размера ставки.

Оригинал пользователя BelFish1
Возможна ли полная индифферентность с какими-то частотами? Т.е. чтоб в итоге в конце каждой раздачи, независимо от действий оппа, сумма та же получалась.

Возможна.

Оригинал пользователя BelFish1
Просто интуитивно это понять сложновато, а посчитать быстро именно среднее по всем вариантам не выйдет...

Почему не выйдет? Что мешает?

Вот например простая задача. Нет никаких аутов на усиление, все стартовые руки игрока 1 на флопе с 100% эквити или с 0% эквити. У игрока 2 на флопе рука с Х% эквити, которая всегда выиграет вскрытие у мусора и всегда проиграет вскрытие натсам соперника. Для соперника, по причинам, описанным в книге, в условиях отсутствия аутов и эффекта блокирования, лучший размер ставки или рейза на любой улице будет ггоп(ggop) размер с аллином на ривере.

Если известно, что Х=60%, то при лучшей игре соперника при каком размере ставки (Y) на каждой улице у руки Х=60% будет ровно нулевой колл против ставки на флопе? Если размер ставки будет больше Y, то колл ставки станет для Х минусовый. Если размер ставки будет меньше Y, то колл станет плюсовый. А именно при Y рука силой 60% на флопе будет индеферентна к выбору действия колл или чек. Но не будет индеферентна к выбору действия рейз, ибо рейз будет убыточный.

Что мешает посчитать значение Y?

Оригинал пользователя BelFish1
Еще интересно как дискретность повлияет на результат в зависимости от шага...

Дискретность и эффект блокирования просто изменяют систему уравнений. И иногда это может сильно настолько усложняют систему, что если есть достаточно большой ассортимент возможностей и эффектов блокирования, то там через систему уравнений можно годами вычислять результат, ибо система уравнений будет километровой длинны, ты пол жизни потратишь только на поиск и устранение ошибок при её составлении. Тут уж без компьютерных вычислений никак не обойтись.

Солверы именно перебором по итерациям и подбирают лучший вариант распределения блокеров, дискретности, и изменений частот действий и МО, которые они вызывают.

Оригинал пользователя BelFish1
З.Ы. Или покер с такими правилами: сдают по 1-й карте и один раунд ставок, рейзов нету. (А можно и с рейзами). Тут уже условия равные для обоих, есть баттон. В такую игру даже очень интересно поиграть было бы. И интересно какой винрейт можно получить по перфектной стратегии против среднего по уровню игрока...

Если размеры ставок и рейзов фиксированные, тогда такая дискретность поддаётся простому линейному описанию, тогда можно вручную составить систему уравнений, как и в задаче с числами, а потом найти значения переменных из этой системы. Значения переменных покажут, при каком выборе действий достигается равновесие.

Что такое среднего по уровню игрока? Надо описать математически, какой выбор действий с каждой рукой в каждой из ситуаций он совершает. После чего можно, снова же через систему уравнений, найти максимально выгодный эксплоит его стратегии, либо же просто посчитать, какое математическое ожидание против него получает равновесная стратегия.

А пока не назначен полный список выбора действия для среднего по уровню игрока - нечего считать.

Оригинал пользователя BelFish1
Но, наверное, это чертовски сложно решить точно... Просто интересно как очень упрощенная модель для холдема.

Не чертовски сложно, а чертовски долго. Будет длиннющая система уравнений. Но сама система собирается по таким же простым принципам индеферентности в ключевых точках. А ключевые точки назначаются исходя из заданной структуры игры.

Например, если нашему пограничному блефу трубется 30% ФЭ, тогда именно у 70% рук соперника должен быть плюсовый колл или рейз, а у 30% рук соперника должен быть минусовый колл или рейз. Вот мы и назначаем граничным рукам, находящимся на границе между этими 70№ и 30%, что они должны быть индеферентны к коллу или фолду против нашей ставки. Отсюда и строятся дальнейшие уравнения.

А пока не назначен полный список выбора действия для среднего по уровню игрока - нечего считать.

Хотя это полностью некорректная формулировка. На самом деле мне доставило большое удовольствие находить равновесие для учебных задач, в которых я назначал одному из игроков 1 или 2 ошибки в действиях, а в остальном у игрока полная свобода выбора. И вот надо найти "новое" равновесие при фиксированной 1 или 2 ошибках одного игрока, каким оно будет? Очень много поучительного можно узнать таким методом.

Простой пример такой ситуации - задача №19.

Или, например, в задаче с числами, которую Никита предложил, можно назначить игроку 2 фиксированный фолд против ставки 70% худших рук и колл с 30% лучшими руками. Какой будет самый оптимальный (равновесный) эксплоит этого изменения в игре со стороны игрока 1? С чем чекать? С чем ставить? С чем отвечать на ставку соперника после чека?

Я для упрощения взял как в примере из книги Джанды что все наши руки, с которыми делаем Value Bet имеют 100% эквити, а все блефы 0% эквити. Взял 400 рук чтоб целые числа получились для числа наших доборов, блефов и чек-фолдов из этих 400 рук (и, кстати, удачное число, т.к. это 30% спектра))
Т.е. 80 рук - натсы, 190 - блефы, 130 - чек-фолды на флопе (в сумме 400 рук). И.т.д. по улицам. Первая таблица ставок для случая пот-бетов по всем улицам. Вторая для случая ставок пол-пота.

На каждой улице есть инвариантность. Но для меня не очевидно что в сумме вся линия даст тоже инвариантность. Не очевидно именно в плане представления, а не абстрактно в плане МО. Т.е. вначале я думал (чисто на уровне интуиции, когда еще не читал книгу, а ты мне писал в теме по блефам - что бы опп не делал, ничего не меняется, т.е, он ничего не может предпринять чтоб как-то улучшить свое ожидание) что если взять любую линию оппа по улицам, то в итоге должно получаться одно и то же число (МО для каждого его выбора). Вот, наверное в этом и было заблуждение... Если мы берем краевые варианты, то оно примерно так и получается (почему-то небольшая разница, все-таки есть, на начальный пот в 10). Краевые, я имею ввиду что опп или всегда только фолдит на ставки, или всегда до упора коллит - тут МО получается одинаковым. И вот я думал что полная инвариантность всей линии означает что все срединные варианты должны давать такое же МО каждый. Т.е. я не могу понять что тут означает инвариантность именно по сумме ставок (чеков) по всем улицам. Наверное, среднее всех этих срединных розыгрышей дает то же МО. Так? Как я писал выше, посчитать это среднее вручную (чтоб убедиться) мне пока представляется долгим процессом (я имею ввиду для того чтоб интуитивно понять, а не абстрактно из решения уравнений).

ЗЫ. И если это так, то значит это ответ на первый вопрос. А второй был - чем отличаются эти 2 линии со ставками в пот и в пол-пота, т.е. они одинаково эффективны или есть оптимальный вариант? МО, вроде, у обоих линий одинаковое...

Для среднего игрока имел ввиду, скажем, такой вариант: мы играем против всех подряд в такую игру без прог и у нас очень плохая память, т.е мы не можем запомнить какими приемами пользуются оппы ))) Но памяти хватает чтоб запомнить выработанную стратегию ))
Фактически, получается, наверное, ГТО. И если предположить что в среднем против нас будут играть фиши, а не профи, которые что-то считали по такой игре, то будет ли у нас большое преимущество именно в этот вариант игры с одной картой против них...

ЗЫ. Предполагается, что фиши играют как играют, т.е. не адаптируются, в среднем каждый играет одинаково, но со своими особенностями. Например, при игре будет попадаться 90% таких фишей, а 10% будут нас эксплойтить, от этого МО упадет, но не критично из-за количества фишей.

МО=0.1*(-х1)+0.9*х2
0.1*х1 намного меньше чем 0.9*х2

Ну, т.е. я тут беру по анологии с СнГ ХА раззом. Когда подсаживался полный фиш, х2 было близко к 90% (из-за рейка, ставка 10.5, чистый выигрыш 9.5). А когда подсаживался тайтовый адекват, то х1 было близко к 0. Ну, и какая-то еще средняя прослойка средне-адекватных игроков была...

Так вот, вопрос в том, будет ли х2 очень большим для какой-то стратегии в игре с одной картой и одним раундом ставок без рейзов.

ЗЫ2. Конечно, вряд ли тут х2 сможет достичь хотя бы 80%, но, может, хотя бы 2/3 выйдет выигрышей против фишей...

Фактически, получается задача как выше, но с дискретными величинами, от 2 до 13. Но тут у игроков нет преимущества по позиции, т.к. есть баттон, т.е. игроки в равных условиях.

ЗЫ3. Я еще думаю, что пока что тут мы не можем определить понятие фиш, без практики в игру, т.к. в такую игру мы еще пока не играли. Можно было бы довольно долго поиграть против разных оппов и посмотреть как именно люди были бы склонны играть в такую игру. Не знаю, можно ли теоретически смоделировать как именно бы реальные люди играли (которые ничего не считают, а по интуиции или просто на вере в удачу совершают ходы)...

А может и так быть, что т.к. игра довольно примитивная, то против большинства игроков особой выгоды не получишь (т.е. они чисто интуитивно будут почти правильно действовать). Но, с другой стороны, основываясь на том что ты писал по игре "к-н-б", то может как раз все наоборот быть в плане психологического подхода, но это уже тогда эксплойт получается...

ЗЫ5. Наверное, пока не определено кто будет являться действительно фишом в такой игре в реальности и сколько таких фишей будет попадаться, то решение по ГТО даст просто равные частоты выигрышей. Но может такая стратегия будет в реале более эффективна против фишей, чем какая-то иная стратегия. Как в КНБ, если мы с рандомизацией (1/3, 1/3, 1/3 - с помощью игральной кости) будем играть, против нас никто ничего сделать не сможет: профи будут в ноль с нами играть, а фиши уйдут в минус.

Вот еще мысли. Начнем с игры КНБ. Это популярная игра во всем мире. Значит есть какое-то устоявшееся распределение игроков по категориям (например, полный фиш, фиш, середнячок, полу-про, профи, мастер). Все люди из этих категорий играют так как они играют (все кто ниже середнячка, а те что выше пользуются эксплойтом). Я не знаю каков реальный процент людей в мире из каждой категории, наверное, можно найти такую статистику. Турниры даже по игре проводятся. Но я точно знаю что МО будет больше нуля по стратегии с рандомизацией против среднего поля. А именно вот что будет:

МО=ПФ*х1+Ф*х2+С*х3+ПП*х4+П*х5+М*х6

хi - МО против определенной категории игроков, а буквенные обозначения - частоты игроков из каждой категории. Они совершенно определенные - такие, какие установились на практике в мире...

И вот, при игре против всего этого поля по стратегии ГТО (1/3, 1/3, 1/3), мы получим укороченную формулу:

МО=ПФ*х1+Ф*х2+С*х3

т.к. с нашей стратегией х4, х5 и х6 станут равны 0
Все числа в этой формуле такие, какие они есть в мире и возможно их где-то можно найти (примерные оценки).
Возможно, по стратегии ГТО против среднего поля мы получим МО=0.1, т.е. за 100 игр мы будем выигрывать 10 ставок. Это соответствует частоте выигрышей (в ХА играх) 55%

Для СнГ ХА по раззу я делал похожую оценку с подгонкой к своей статистике: полных фишей, вроде бы, было около 25% ))), проигрывал я таким фишам где-то 1 раз из 20. Остальных я примерно делил на слабых, средних и сильных в пропорции 25%, 25%, 25% и примерно с частотами выигрышей у них около (соответственно) 70%, 60% и 50%. Число полных фишей я точно знал (25%) и выигрышность у них (95%). Остальное была грубая подгонка, которая хорошо легла на реальные результаты игры...

Средняя частота выигрышей = 0.25*0.95+0.25*0.7+0.25*0.6+0.25*0.5=0.69
И по моей статистике оно так и выходило примерно что 70% СнГ ХА я выигрывал.

Вот мне и интересно насчет этой игры с одной картой и одним раундом торговли без рейзов. Если бы люди массово начали играть в такую игру, то тоже появились бы условные категории игроков, и в среднем против поля с ГТО стратегией тоже получилась бы определенная частота выигрышей, как в КНБ 55% (может реальная вообще 60% или выше по ГТО), а в раззе 70% (но тут уже я не могу утверждать что это ГТО игра была).
А интересно именно какая частота выигрышей получалась бы на практике...
Но посчитать можно только ГТО как ты считал в самом верху страницы (не знаю с дискретными величинами какое тут отличие будет по частотам блефов и ставок на велью, довольно интересно, точный расчет как ты сказал очень долгий).
А остальное уже теоретически не оценить, наверное, тут надо на практике смотреть. Я бы мог поиграть с различными людьми для оценки ))))

ЗЫ. Если бы был форум с оценкой рук по такой игре:
Игрок, такой, пишет: "Делаю ставку с 9, а опп ответил с t, ну что за фиш, знал же что я нит и практически не блефую!" ))
А оценщик ему отвечает: "Может тебя тайминг-теллсы выдали?"

Оригинал пользователя BelFish1
Т.е. 80 рук - натсы, 190 - блефы, 130 - чек-фолды на флопе (в сумме 400 рук). И.т.д. по улицам. Первая таблица ставок для случая пот-бетов по всем улицам. Вторая для случая ставок пол-пота.

Теперь понял. Да, тут всё чётко.

Оригинал пользователя BelFish1
Как я писал выше, посчитать это среднее вручную (чтоб убедиться) мне пока представляется долгим процессом (я имею ввиду для того чтоб интуитивно понять, а не абстрактно из решения уравнений).

ЗЫ. И если это так, то значит это ответ на первый вопрос. А второй был - чем отличаются эти 2 линии со ставками в пот и в пол-пота, т.е. они одинаково эффективны или есть оптимальный вариант? МО, вроде, у обоих линий одинаковое...

Вероятно ты дальше не дочитал еще. Там дальше есть простые методики расчётов, например на минуту, иногда вообще на 10 секунд, часто можно даже без калькулятора в уме.

Чисто интуитивно есть два основных варианта. Но можно и кучу других придумать, кому как удобнее.

Если ни аутов ни блокеров всё равно нету, тогда нет и никакой разницы, коллировать сопернику или фолдить, ни на какой из улиц. Это значит, что он может сразу сфолдить все свои руки уже на флопе, и тогда ты просто забираешь банк с тем, с чем делал ставку. А с чем ты чекал - с тем банк отдаешь всегда, ибо в спектре чека сильных руке нету и усиление приехать тоже не может.

Так вот в твоей таблице 270 из 400 рук пот бетом на флопе забирают банк. Значит ЕВ всей стратегии игры для игрока с полярным спектром будет 270/400 = 67.5% всего банка флопа.

А вот в случае ставки пол банка на флопе в твоей таблице забирают банк на флопе лишь 190 рук, таким образом ЕВ всей стратегии игры снизится до 190/400 = 47.5% банка флопа.

Этот способ корректный только для полностью безаутовой и бездискретной модели игры, где нет блокирования.

Второй простой популярный способ, он более универсальный - назначить правильное ФЭ на каждой улице. Например в данном случае, так как ауты не влияют и блокирования нету, правильное ФЭ будет 50% на каждой улице против пот бета. Тогда сильные руки выиграют банк флопа в 50% случаев, потом выиграют еще 3 банка флопа на терне в 25% случаев и выиграют еще 9 банков флопа на ривере в 12.5% случаев. И в 100% случаев натсы получат банк флопа. Итого 1+ 1*0.5 + 3*0.25 + 9*0.125 = 3.375. Именно столько получат натсы. А натсов у тебя 80 из 400, итого 80*3.375/400 = 67.5%. А ЕВ блефов нулевое, что блефуй что не блефуй, при таком ФЭ, поэтому на общее ЕВ всей стратегии игры блефы не оказывают влияния в данной версии упрощения.

Если же соперник захочет фолдить другое количество рук, не 50%, тогда его ЕВ не поменяется же, потому что он индеферентен, а значит и ЕВ в 67.5% тоже не поменяется, при любом сплите фолдов и коллов. Только рейз игрока с рукой средней силы повлияет на ЕВ, загнав его в еще больший убыток в пользу игрока с полярным спектром.

Еще больший в данном случае означает, что у игрока на флопе 80% эквити - он бьет 320 из 400 комбинаций соперника. А в итоге вместо 80% банка флопа получает только 32.5% банка флопа против трех пот бетов. Потерянные 47.5% банка флопа - это и есть его убыток от незащищенного (капнутого) спектра. А если он будет рейзить, то его убыток станет еще больше, при любом размере рейза. Некоторых удивляет, что силы руки в 80% недостаточно для плюсового рейза даже минимального размера. Но вот легко проверить на таком примере.

Спасибо!
Надо хорошенько "покурить" этот пост, и те что ты раньше писал по блефам!

Мне понравилась книга Склански, Миллер "НЛ холдем: теория и практика".
Особенно понравилось правило 80% на 20% (для варьирования игры), где можно взять и другие близкие значения, например, 75% и 25% или 83% и 17%. Так удобно для пар: "черных" пар как раз 17% (16.666%), а всех "черных" старших карт на префлопе как раз 25%, т.е., автматическая рандомизация получается.
Как-то эту рандомизацию можно использовать для случаев блефа для реальных, а не полностью полярных диапазонов.