无限注德州扑克中的数学概念(3) - 弃牌率&EV(期望收益)高级篇

介绍

这篇文章的主要内容

• 可能的弃牌是如何影响EV的
  
• 标准的翻牌后行动
  
• 有利可图的四次下注诈唬

在这个系列的第二篇文章中我们介绍并计算了潜在成败比和反向潜在成败比。你明白了关于翻牌前跟注的复杂的EV计算。在这篇文章中，我们的中心将是你的对手的行动，他们的相关范围和可能的反击行动。

将可能的弃牌带入到计算中的期望收益

诈唬和半诈唬在这篇文章中扮演非常重要的角色， 对在EV计算中介绍一个对手弃牌的可能性非常重要。公式：

EV = 赢率 * (可能赢得的钱的数量 + 投入) - 投入

这个公式是不充分的。 公式中没有关于对手弃牌的变量。因此我们需要一个更通用的公式来计算EV：

EV = Pfold * 底池 + (1 - Pfold) * (赢率 * (可能赢得的钱的数量 + 投入) - 投入)

Pfold是你的对手将会弃牌的概率。如果你不能立即赢得底池，Pfold就是你赢得底池的概率。假设赢率=0时公式可以简化为：

EV=Pfold * 底池 - (1 - Pfold) * 投入

在这种情况下的损失是你的持续下注。就是你每次纯诈唬的时候。考虑到纯诈唬的定义，你只有在对手缴械投降时才能获胜。

标准的翻牌后行动：持续下注

在翻牌前加注后，持续下注可能是使用的最频繁的标准打法。当检查他们的EV时，我们会特别考虑一位牌手会多频繁地击中一手他需要的范围内的牌。同时，根据给定的不同牌手的需求范围，我们需要假设翻牌前牌的范围和翻牌后的行为习惯。让我们来看一个特别的例子：

非满员桌， 100BB 筹码量

翻牌前: 你在MP位置持有XY
你加注到4BB, 1人弃牌， BU跟注4BB，2人弃牌

翻牌圈: (9.5BB) K, 5, 3 (2位牌手)
你下注7BB

这个翻牌圈很不协调，因此是一个做持续下注的经典牌面。在这里不考虑应该多频繁地击中牌面，我们来分析接下来的情况。

如果BU位置的牌手还在牌局中的话你通常会输。如果下注仍然有利可图的话，那会是怎样有利可图的呢？需要做什么假设？

范围的决定并不是这篇文章的主题，但现在的情况是你不能确定BU的牌的范围。这个例子介绍了另一种概念。某一个对手做某件事的频率。BU可能用任何口袋对子和30%的同花连牌冷跟注。很显然某些牌手不会用任何同花连牌冷跟注，而有些人会用所有同花连牌冷跟注。

如果没有进一步的信息，在0%和100%之间确定牌的范畴会比0%或100%更具真实性。稍后你可以修改这个参数来看看总的EV是如何改变的。

为了不使事态复杂化，我们假设BU有三种不同的可能的牌的分类，他是否会玩这些牌的相关可能性如下(p(Category))：

• 口袋对子： 22-99: p(Pocket)
• 同花连牌： 45s-KQs: p(SC)
• 更强的大牌： AQ, AJ, KQo: p(BW)

这里的每一种范围有多少种组合呢？根据前面文章中的计算，每个口袋对子提供6种组合，因此口袋对子一共有42种组合。

每手同花牌有4种不同的搭配方式，因此同花连牌有33种组合。非对子的牌有16种组合，大牌的组合是41种。

Button位置的牌手持有(牌的组合)的概率(probability)：

冷跟注的概率在0和1之间。通过仅用口袋对子冷跟注的牌手可以解释这个问题。对他来说p(SC)=p(BW)=0，p(Pocket) = 1。所以他持有口袋对子的概率是：

42 * p(Pocket) / [33 * p(SC) + 41  * p(BW) + 42 * p(Pocket)] = 42 * 1 / (33 * 0 + 41  * 0 + 42 * 1) = 1

BU位置的牌手面对下注时会怎么做？这取决于他自己的牌，并且这也产生了新的问题：BU会多频繁地击中他的范围内类型的牌？

给定的范围公开了BU什么牌都没有的概率，也就是小于A高的杂牌，或者持有67s的内听顺子或A高杂牌。

另一种可能是他有一对或顶对，在他持有45s，56s和22，44，66-99时。除此之外，还有持有KQs时的顶对和持有33和55时的暗三条。 因为我们只对下注的EV感兴趣而不考虑我们的赢率，我们只需确定他持有不同的牌时弃牌的概率。

所有的未击中可以被概括为pf(Miss)，内听顺子为pf(Gutshot)，A高杂牌为pf(AceHigh)，对子为pf(Pair)，顶对为pf(TopPair)，暗三条为pf(Set)。最后两个几乎为0，列出它们只是为了方程的完整。

我们已经收集了所有需要的变量。就像之前提到的，我们把持续下注看做一种纯诈唬，也就是说，这个下注本身的EV，是没有任何其他方式的获胜可能的。EV可以根据翻牌前不同的牌的分类计算出来，因此我们可以继续改变冷跟注的概率。

说明：三个条目的第一项代表BU在翻牌前拿到三种分类的牌之一时的概率。这部分乘以在第一项中给我们的翻牌后纯诈唬的EV。各自的概率都必须计算出来，也就是说p(Set)仍然需要计算。根据上面所提到的，对这个范畴的牌来说，pf(Set)是弃牌的概率。

如果BU持有33或55，那他就得到了暗三条。在22-99的范围内持有33或55的概率是2/8。然而，我们需要考虑到有一个3和一个5已经在牌面上了，因此持有33或55的可能的组合数实际上只有3个，而不是6个。

总的来说有(6*6 + 2*3 =) 42种可能的组合，暗三条有6种： 6/42 = 0.14。在其他情况中BU有一个对子<顶对。因此p(Pair1)是36/42 = 0.86。

p(Pair2)是持有同花连牌时击中对子或顶对的概率(持有45s和56s时击中)。在最初的4种45s，56s和KQs之外，还剩下3种，因此可能的组合总数为3*3+6*4 = 33。结果p(Pair2) = 6/33 = 0.18。

对内听顺子来说，是33种组合之外的4种可能，因此p(Gutshot) = 0.12。顶对为3/33 = 0.09. 其他20/33的情况BU什么也没有击中，所以p(Miss) = 20/33 = 0.61。

对大牌来说，关于KQ有9种可能的组合(KQs用SCs计算)。加上AQ和AJ的2 * 16种组合，你总共得到41种组合。当然，A高杂牌的概率被给定为p(AceHigh) = 32/41 = 0.78，p(TopPairBW) = 9/41 = 0.22。现在我们知道了所有的概率。在我们讨论结果之前，为了更加清楚明了，所有的概率都被列在这个表格里。

现在我们需要假设BU关于弃牌的行为习惯。他在翻牌圈的牌的范围已经被分类成：暗三条，顶对，对子，内听顺子和未击中。很显然，弃牌的概率会在很大程度上影响下注的EV。

因为这么多的变量不能在一个图表中标出，我们来看看5种不同的风格以及它们对应的EV.你一定要假设不同的风格，并在你的计算中使用它们。

我们期待这样一种趋势：我们的对手越松，EV就越低。然而，对中等对手的持续下注的EV相当高，这是非常值得注意的。他不会弃掉很多牌，不考虑我们的赢率的话，对他的诈唬是有利可图的。分界线位于中等牌手和松的牌手之间。对他来说你应该很认真地考虑持续下注的收益性，甚至可以完全不考虑纯诈唬。

翻牌后的标准行动：翻牌圈的诈唬VS持续下注

现在让我们从相反的角度看一下。考虑你在类似的情况下在翻牌前冷跟注，你是否会诈唬，以及它是怎样有利可图的。

结果的计算方法和前面的例子相似。首先，在给定牌的范围和牌面后，我们要确定翻牌后的各种牌的概率。给出能让我们粗略计算EV的不同的可能结果。与前面例子相反的是，我们不会逐步考虑有相同细节的过程。

6人桌， 100BB 筹码量

翻牌前: 你在BU位置
2人弃牌， CO加注到4BB，你跟注4BB， 2人弃牌

底池: 9.5BB

翻牌圈 A: K, 9, 7

翻牌圈 B: A, T, 9

翻牌圈 C: 2, 7, 9

CO下注7BB，你加注到23BB

你和CO之间没有任何特殊的历史。翻牌前CO的范围假设为22+, A2s+, K9s+, Q9s+, J9s+, T8s+, 98s, 87s, 76s, 65s, 54s, A8o+, K9o+, Q9o+, J9o+, T9o, 98o, 87o, 76o,因此大概是31%的牌。我们可以假设CO不了解你，所以这是100%的持续下注。这种情况比过牌跟注，过牌弃牌和过牌加注的情况更容易描述，也只需要更少的假设。接下来牌的分类：

• 顶对+ (Top pair)
• 中对子 (Mid pair)
• 对子 < 中对子 (P < MP)
• 两端顺子听牌，同花听牌 (sDraw)
• 内听顺子 (wDraw)
• 其他 (Air)

为了简便，公式通常表示为： 

pf * 底池 – (1 – pf ) * 加注 = pf * (底池 + 加注) – 加注

这里的加注是23BB，底池是9.5 + 7BB。

在上一个例子中:

EV =
P(TopPair+) * ( pf(TopPair) * ( 底池 + 加注 ) - 加注)+
P(MidPair) * ( pf(MidPair) * ( 底池 + 加注 ) - 加注)+
P(P < MP) * ( pf(P < MP) * ( 底池 + 加注 ) - 加注)+
P(sDraw) * ( pf(sDraw) * ( 底池 + 加注 ) - 加注)+
P(wDraw) * ( pf(wDraw) * ( 底池 + 加注 ) - 加注)+
P(Air) * ( pf(Air) * ( 底池 + 加注 ) - 加注)

不同的翻牌需要的概率：

翻牌B是小顺子听型牌，也是小同花听型牌，它们都是弱听型牌。顶对+同花听型牌被视为顶对。在这里不同的翻牌之间出现了巨大的差别。在翻牌A中存在所有类别的成手牌，但是没有太多听型牌和一些空气牌(Air)。在翻牌B中攻击者通常已经击中了一些牌，他的范围在低牌面的翻牌中是高度极化的。

为了更好地理解，表格里通常会列出在每一个翻牌中的不同组合的概率(空气牌，弱听型牌和对子/中对子)。

为了计算EV，你需要粗略估算可能的牌的弃牌概率。在这里pf(TopPair) ≠ 0，因为紧的牌手会弃掉弱的顶对(特别是在翻牌B和C中起脚牌很弱的弱对A和对9)。

类似的结果是令人期待的。一些牌手认为翻牌C是最适合诈唬的翻牌。但事实并不是这样，这主要归因于9是牌面上最高的牌。在7最高的翻牌里，诈唬会更加有利可图，因为顶对的可能性更小了。

总而言之，我们已经很清楚在翻牌后策略中，只有持续下注是不够的。一个牌手需要偶尔把球打还给对方(就像松紧中等的牌手)，很少弃掉听型牌或成手牌，以免被很容易得诈唬到。

对于'中等' 的对手，尽管在三分之二的情况中EV都是正的，但为了并不确定的0.7BB(当考虑估算的变量时)收益投入23BB仍然是不明智的。

在对付紧的牌手时，应该将灵活多变的打法(float)考虑到翻牌C中。因为对手的行为习惯在不断增多，float的计算只能对抗选择简单下注方式的牌手。我们仍然假设我们的赢率是0%。如果对手再次下注，你应该弃牌。如果对手过牌，你应该向23.5BB的底池中下注15BB，如果他跟注，你将输掉底池。

因此EV就是：

EV=p(过牌/弃牌)*(底池+翻牌圈下注) - p(下注)*(你翻牌圈的跟注) - p(过牌/跟注(加注))*(你翻牌圈的跟注+你转牌圈的下注)

现在我们需要确定CO在转牌圈使用以下下注方式的概率：

• 过牌-弃牌
• 过牌-跟注(加注)
• 下注

这是我们的近似值。现在是更复杂的部分：根据不同的牌的分类和转牌决定概率。

Float的EV是+5.28BB。低于相同情况下的诈唬-加注，然而，它的平均风险也更低。EV变低了，是因为降低了他持有顶对时在翻牌圈弃牌的机会。如果你期待一张9去过牌/弃牌，而不是过牌/跟注，float的EV会提高。

四次下注诈唬

在非满员桌中四次下注诈唬是非常重要的。因为四次下注诈唬在翻牌前很有侵略性。你对手的牌的范围很大程度上取决于你的形象和历史牌局。如果你想把这里给定的结果运用到你的比赛中，你就需要特别注意对手在三次下注或全押时的牌的范围。

很显然如果牌的范围真实的话会对你非常适用。情况如下：

非满员桌， 100BB 筹码量

翻牌前: 你在BU位置持有??
3人弃牌，你加注到4BB，弃牌 ， BB 加注到14BB，你加注到31BB

让我们来看看你的EV，假设如果你的对手不弃牌你通常会输：

你要在131.5BB的底池中跟注69BB，所以你需要至少34.41%的赢率。为了对照，我们来看看这个包括不同牌的范围的赢率的图表。

如你所见，在这种情况中你不能对任何牌用小口袋对子四次下注/弃牌，但是你通常可以用A2s和67s这么做，AQ只可以对紧的范围适用。要记住如果你四次下注也必须对紧的范围弃牌。对松的范围时你可以用AQ赢到钱。你应该知道这些，以免在诈唬失败时再犯错误。很显然，我们仍然要决定诈唬的EV。利用文章开头的公式可以轻松计算出来：

EV=P弃牌 * 底池 - (1 - P弃牌) * 投入

我们能赢得的底池是18.5BB，可能的损失是-27BB，如果BB不弃牌的话。因此要求的弃牌率是59%左右。以下是可能的范围。

如果你的对手在翻牌前持有QQ+，AK (34种组合)时会全押，他必须用至少83种组合做三次下注来使四次下注有利可图。给定的范围可能是77+，T9s，AQ+，或者类似44+，AK或TT+，AJ+，KQ+。如果他在翻牌前持有AQ+，TT+ (62种组合) 时会全押，他必须至少用151种组合做三次下注来确保诈唬有利可图。可能的范围是22+，A2s-A5s，A9s+，AQo+，KQ+或22+，AQ+，A2s+，T9s 或类似的范围。

牌的移除效应

当面对对手的全押范围时，除了你的牌的赢率，还有另一个影响四次下注收益性的因素：它成功的可能性。

到目前为止我们一直忽略了一个方面：全押的概率并不依赖于你自己的牌(我们假设对手有100%的可能弃牌或全押)。考虑到这一点，你的对手的范围会由两部分组成，"破产范围"和"弃牌范围"。你持有或不持有某些特定的牌都会或多或少的让概率在两种范围之间转换。这种影响被称为牌的移除效应。特定的牌会从你对手的范围内移除，因为它们是你的牌的一部分。

如果你对一个潜在四次下注诈唬的情况很疑惑，经常玩那些牌会让对手全押的概率降到最低。如果你想量化这个不同而不是仅仅说"我有一个A，这很好，因为对手会用很多AX的牌全押"，你也必须考虑到由于你自己的牌，很多三次下注的牌的概率也改变了。

在实际中，你可以通过计算所有存在的组合数来做这件事。我们会介绍一些表现多种三次下注范围和全押范围的图表。我们会看到两个不同的全押范围，一个紧的，范围是QQ+，AK，一个松的，范围是TT+，AQ+。

我们也会看到两个三次下注范围(实际上非常不同)。其中一个的范围是22+，AQ+，而另一个有很少的连牌：77+，AQ+，67s-89s。下面的表格展示了对特定的范围，有和没有牌的移除效应时不同组合的数量。有4种不同的持牌：AQ，AJ，KQ，A2。

为了更好地概括，我们会把各自的范围定为1) & 2) 和 a) & b)。正如你已经看到的，可能的组合数量的变化是非常大的。例如，持有AQ会让紧的全押范围的概率降低(34-24) / 34 = 0.294，几乎是30%。

通过这个图表我们也可以衍生出其他关于多种概率的图表。这些图表会展示出对手分别持有4种可能的组合时全押的可能性。为了做对照，我们会分别考虑有和没有牌的移除效应时的情况。百分比是由全押范围的组合数和三次下注范围的组合数相除计算得到的。如果一个对手用a)三次下注，用1)全押，概率就是34/110 = 0.309，也就是大约31%，如果你不考虑牌的移除效应的话。

如果你持有AJ，你适用下面的表格：

如果你持有A2，表格会是这样的：

如果你持有KQ，表格是这样的：

在大多数情况中，由于阻断牌的原因，全押的概率会降低大约10%。那些你不能有益地跟注的牌会更适合四次下注诈唬，这在博弈论中表现得很清楚。在不利位置时，持有所有上面提到的牌的时候都通常会发生这种情况。在有利位置时，很显然你应该考虑用更强的牌跟注。

在比赛中要一直牢记自己的牌的赢率。就像之前所表明的，在对抗多种范围时表现很好的牌不能用来做四次下注/弃牌。与之相反的，当你的EV不会显著提高时，你通常必须跟注全押。(你的跟注只会轻微增加EV)。然而这会有很大的变化。在特定情况下是否应该用AQ四次下注/跟注或者用A2四次下注/弃牌都必须在比赛中决定。我们就不在这里权衡它们的利弊了。

总结

这就是第三部分的全部内容。在以后的部分中，我们会从另一个不同的方面看看四次下注诈唬。我们还会分析几种翻牌后的情况以及G-Buck分析。

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