[Geschlossen] Schaf Problem

Original von davidh38

Basis f all(Induktionsan f ang) : Es ist klar, dass ein Schaf dieselbe Farbe hat wie es selbst.
Induktionsschritt :
Nimm aus einer Herde mit n Schafen ein Schaf a heraus. Die restlichen n1 Schafe haben wegen
der Induktionsannahme dieselbe Farbe.

lol?
für mich liest sich das wie:

alle mäuse sind eingabegeräte.
sei a eine maus so gilt wegen der induktionsannahme, da�? sie horst hei�?t. folgerung: für alle b gilt frank oder kaffeemaschine.

wenn dir der beweis nicht einleuchtet, kann ich es auch nochmal für roggenbrote zeigen

Der Induktionsschritt ist falsch, weil er für n=2 nicht funktioniert. (Erst ab n=3)

Original von Faust
Der Induktionsschritt ist falsch, weil er für n=2 nicht funktioniert. (Erst ab n=3)

Ist die Induktionsannahme richtig?

Behauptung: 1 ist die grö�?te natürliche Zahl.
Beweis durch Widerspruch:
Sei k eine grö�?ere natürliche Zahl als 1 => k^2 > k. Somit kann k nicht die grö�?te natürliche Zahl gewesen sein ...
^^

zum schafproblem:
ich denke der fehler liegt darin, dass man nicht das schaf "zurückschicken" und ein anderes nehmen darf.

Original von davidh38
Ist die Induktionsannahme richtig?

Ja

die induktionsannahme ist eine richtige annahme.
der induktionsschritt geht wie du schon geschrieben hast voll am thema vorbei

Die restlichen n1 Schafe haben wegen der Induktionsannahme dieselbe Farbe.

nein, laut annahme hat das schaf nur die farbe wie es selbst. über die restlichen elemente dieser "schafmenge" kann keine ausssage gemacht werden.
spiel das mal mit einer bunt angepinselten schafmenge durch, dann ist es sehr schnell offensichtlich ^^

ein für das problem passender ansatz mit induktion wäre meiner meinung nach sowas wie:

behauptung: alle schafe habe die gleiche farbe.

dazu beweist man:

I) schaf 0 (schaf 1) hat genau eine farbe.

II) hat schaf n eine farbe so hat auch schaf n+1 genau die gleiche farbe

Original von dayero

Original von davidh38

Basis f all(Induktionsan f ang) : Es ist klar, dass ein Schaf dieselbe Farbe hat wie es selbst.
Induktionsschritt :
Nimm aus einer Herde mit n Schafen ein Schaf a heraus. Die restlichen n1 Schafe haben wegen
der Induktionsannahme dieselbe Farbe.

lol?
für mich liest sich das wie:

alle mäuse sind eingabegeräte.
sei a eine maus so gilt wegen der induktionsannahme, da�? sie horst hei�?t. folgerung: für alle b gilt frank oder kaffeemaschine.

wenn dir der beweis nicht einleuchtet, kann ich es auch nochmal für roggenbrote zeigen

Oder das Gro�?vater-Paradoxon nach der Relativitätstheorie. Ein Mann macht eine Zeitreise in die Vergangenheit und erschie�?t seinen Gro�?vater, bevor sein Vater gezeugt wird. Sein Vater wird also nicht geboren und er selbst damit auch nicht. Wenn er aber nicht geboren wird, wie kann er dann in die Vergangenheit reisen und seinen Gro�?vater erschie�?en? Schade, da�? Einstein nicht mehr lebt, sonst würde ich den mal fragen. ♦

Original von mike1234

Original von dayero

Original von davidh38

Basis f all(Induktionsan f ang) : Es ist klar, dass ein Schaf dieselbe Farbe hat wie es selbst.
Induktionsschritt :
Nimm aus einer Herde mit n Schafen ein Schaf a heraus. Die restlichen n1 Schafe haben wegen
der Induktionsannahme dieselbe Farbe.

lol?
für mich liest sich das wie:

alle mäuse sind eingabegeräte.
sei a eine maus so gilt wegen der induktionsannahme, da�? sie horst hei�?t. folgerung: für alle b gilt frank oder kaffeemaschine.

wenn dir der beweis nicht einleuchtet, kann ich es auch nochmal für roggenbrote zeigen

Oder das Gro�?vater-Paradoxon nach der Relativitätstheorie. Ein Mann macht eine Zeitreise in die Vergangenheit und erschie�?t seinen Gro�?vater, bevor sein Vater gezeugt wird. Sein Vater wird also nicht geboren und er selbst damit auch nicht. Wenn er aber nicht geboren wird, wie kann er dann in die Vergangenheit reisen und seinen Gro�?vater erschie�?en? Schade, da�? Einstein nicht mehr lebt, sonst würde ich den mal fragen. ♦

Na das würde ich ja gerne mal sehen, wo du mir eine Quellenangabe gibst oder nen Zitat wo Einstein behauptet, man kann in die Vergangenheit reisen
Die Relativitätstheorie sagt sowas ganz sicher auch nicht aus

Original von sammy

Na das würde ich ja gerne mal sehen, wo du mir eine Quellenangabe gibst oder nen Zitat wo Einstein behauptet, man kann in die Vergangenheit reisen
Die Relativitätstheorie sagt sowas ganz sicher auch nicht aus

Das hatte ich auch nicht geschrieben, da�? Einstein das behauptet hat. Das Gro�?vater-Paradoxon sagt lediglich aus, welche Komplikationen bei einer solchen Zeitreise entstehen würden. Nach der Relativitätstheorie wären Zeitreisen in die Vergangenheit theoretisch möglich, wenn man �?berlichtgeschwindigkeit erreichen könnte. �?berlichtgeschwindigkeit ist aber nicht möglich, da eine Masse dann durch die Beschleunigung unendlich gro�? werden würde und somit im gesamten Universum nicht genug Energie vorhanden ist, um eine solche Beschleunigung durchführen zu können.

Gru�?
Mike

Original von davidh38
Was ist falsch an diesem Beweis?

Jede Herde hat ein schwarzes Schaf. Folglich kann man die These, welche bewiesen werden soll, verneinen und für falsch erklären. Da is der Fehler. Die These ist falsch.

Original von knobi81

Die restlichen n1 Schafe haben wegen der Induktionsannahme dieselbe Farbe.

nein, laut annahme hat das schaf nur die farbe wie es selbst. über die restlichen elemente dieser "schafmenge" kann keine ausssage gemacht werden.

Also nach dem Prinzip der Induktion ist die von dir zitierte Behauptung durchaus noch "richtig".
Im eigentlichen Sinne "richtig" wird sie natürlich erst, nachdem der Induktionsschritt korrekt vollzogen wurde - aber so funktioniert Induktion nunmal - man darf die Induktionsbehauptung (Aussage gilt für {n-1} beim Induktionsschritt [{n-1}->{n}] benutzen.

Der Fehler liegt darin, dass formal ein Induktionsbeweis eine Beweis über den natürlichen Zahlen N ist. Die natürlichen Zahlen sind ein well-ordered set, also "durchnumeriert". Somit ist das "Zurückschicken" eines Schafs in die Herde nicht gestattet, denn dies würde bedeuten, dass ein n element N existiert so dass n < n - 1 ist

Wers ganz formal haben will möge in einem Buch zur axiomatischen Mengenlehre unter dem Induktionsprinzip nachsehen.

bei den schafen ist der induktionsschritt einfach total falsch. über jede gruppe mit mehr als einem schaf lä�?t sich nichts algemeines aussagen.

Original von gImLi
Behauptung: 1 ist die grö�?te natürliche Zahl.
Beweis durch Widerspruch:
Sei k eine grö�?ere natürliche Zahl als 1 => k^2 > k. Somit kann k nicht die grö�?te natürliche Zahl gewesen sein ...
^^

das ist kein widerspruch. es wird nur gezeigt, dass k nicht die grö�?te natürliche zahl ist. trotzdem kann sie grö�?er als 1 sein.

Original von jjacky
bei den schafen ist der induktionsschritt einfach total falsch. über jede gruppe mit mehr als einem schaf lä�?t sich nichts algemeines aussagen.

Original von gImLi
Behauptung: 1 ist die grö�?te natürliche Zahl.
Beweis durch Widerspruch:
Sei k eine grö�?ere natürliche Zahl als 1 => k^2 > k. Somit kann k nicht die grö�?te natürliche Zahl gewesen sein ...
^^

das ist kein widerspruch. es wird nur gezeigt, dass k nicht die grö�?te natürliche zahl ist. trotzdem kann sie grö�?er als 1 sein.

natürlich ist das ein Widerspruch

vergleiche dazu den Beweis von Euklid (?) zur Unendlichkeit der Primzahlen ...

Annahme: Es gäbe eine grö�?te Primzahl k, dann ist p_1 * p_2 ... *k - 1 =: q eine grö�?ere Primzahl (oder es gibt eine Primzahl zwischen k und q).

Ist das gleiche Prinzip ...

So wirklich kann ich leider auch nciht sagen, worin der Fehler besteht. Muss wohl irgendwas mit der induktiven Definition von N zu tun haben (jede nat Zahl n besitzt per Definition einen "Nachfolger" m, mit m > n)

Ganz trivial wird es aber auch nicht sein - zumindest steht es im Königsberger Ana II im Kapitel über Variationsrechnung als "Perron'sches Paradoxon"

Korn hats ja im Prinzip schon gesagt:
Der Fehler bei dem Beweis liegt also quasi darin, da�? er eine Annahme macht, die aber gerade bewiesen werden soll.
Wenn die Indukionsannahme lautet: n-1 Schafe haben dieselbe Farbe, dann kann man natürlich so viele Schafe entfernen wie man will und die Annahme gilt immernoch. Tut man aber nun Schaf a hinzu und entfernt ein anderes Schaf b, dann gilt die Annahme nicht mehr, es sei denn man kann beweisen, da�? Schaf a dieselbe Farbe hat, wie Schaf b. Und genau dort bei�?t sich die Katze dann in den Schwanz

Original von gImLi

Original von jjacky
bei den schafen ist der induktionsschritt einfach total falsch. über jede gruppe mit mehr als einem schaf lä�?t sich nichts algemeines aussagen.

Original von gImLi
Behauptung: 1 ist die grö�?te natürliche Zahl.
Beweis durch Widerspruch:
Sei k eine grö�?ere natürliche Zahl als 1 => k^2 > k. Somit kann k nicht die grö�?te natürliche Zahl gewesen sein ...
^^

das ist kein widerspruch. es wird nur gezeigt, dass k nicht die grö�?te natürliche zahl ist. trotzdem kann sie grö�?er als 1 sein.

natürlich ist das ein Widerspruch

vergleiche dazu den Beweis von Euklid (?) zur Unendlichkeit der Primzahlen ...

Annahme: Es gäbe eine grö�?te Primzahl k, dann ist p_1 * p_2 ... *k - 1 =: q eine grö�?ere Primzahl (oder es gibt eine Primzahl zwischen k und q).

Ist das gleiche Prinzip ...

So wirklich kann ich leider auch nciht sagen, worin der Fehler besteht. Muss wohl irgendwas mit der induktiven Definition von N zu tun haben (jede nat Zahl n besitzt per Definition einen "Nachfolger" m, mit m > n)

Ganz trivial wird es aber auch nicht sein - zumindest steht es im Königsberger Ana II im Kapitel über Variationsrechnung als "Perron'sches Paradoxon"

nein, schau dir mal den original post an, den ich zitiert habe. darin wird überhaupt nicht angenommen, dass k die grö�?te zahl ist, sondern nur, dass k grö�?er als 1 ist. deswegen führt die tatsache, dass k^2>k ist nicht zum widerspruch. k^2 > k und k > 1 widersprechen sich nun wirklich nicht!

ok, war vielleicht etwas "ungenau" von mir formuliert. Die Widerspruchsannahme müsste lauten "Sei k>1 die grö�?te natürliche Zahl ..."

Naja so falsch ist die Induktion eigentlich gar nicht. Die Induktionsannahme stimmt und der Induktionsschritt im Prinzip ja auch. Das Problem ist einfach, dass der Schritt von einem Schaf auf 2 Schaafe falsch ist. Hier wirds ja auch offensichtlich falsch. Dadurch kippt natüürlich die ganze Induktion...
Könnte man den Schritt von einem Schaaf auf das zweite Schaf beweisen, dann wäre die Induktion in der Tat richtig und alle Schaafe hätten die gleiche Farbe...(so in der Art ging der Widerspruch, wenn ich mich richtig erinnere)

Ihr habt es immer noch nicht verstanden

Ein Induktionsbeweis läuft immer über die Menge aller natürlichen Zahlen, d.h. 0, 1, 2, 3, .....

Zunächst einmal muss man also jedem Schaf eine eindeutige Nummer zuweisen

Man beweist die Behauptung zunächst für n = 0

Dann nimmt man die Behauptung für alle n für die gilt n < N und muss nun zeigen, dass daraus die Behauptung für N+1 auch folgt.

Induktionsschritt:
Nimm aus einer Herde mit n Schafen ein Schaf a heraus. Die restlichen n1 Schafe haben wegen
der Induktionsannahme dieselbe Farbe. Nun schicke Schaf a zurück zur Herde und nimm
ein anderes Schaf b heraus. Durch die Induktionsannahme haben die restlichen n1 Schafe
(nun wieder mit Schaf a in der Herde) wieder dieselbe Farbe. Also hat a dieselbe Farbe wie alle
anderen Schafe. Somit haben alle Schafe der Herde dieselbe Farbe.

Hier liegt der Fehler. Die Annahme ist nämlich, dass alle Schafe mit der Nummer < N nun dieselbe Farbe haben. Für das Schaf mit der Nummer N+1 gilt diese Annahme nicht, auch nicht wenn wir es in die Herde zurückschicken!