1/x

Der erste Satz ist ziemlich lax formuliert und vermutlich fehlt da auch das Wort "stetig." Eine Teilmenge der reellen Zahlen muss zudem kein einzelnes Intervall sein, es könnte ja auch eine komische Folge von Punkten sein. Du kannst eine Funktion aber nun mal wenn überhaupt nur über einem Intervall überhaupt ohne Stiftabsetzen zeichnen, nicht aber über beliebigen Teilmengen.

Die 0 ist eine Definitionslücke mit einer nicht hebbaren Unstetigkeit. Folglich ist 1/x ist im Nullpunkt nicht stetig.
Aber für die Intervalle (-unendlich,0) und (0, unendlich) ist 1/x jeweils stetig und sogar beliebig oft diffbar.
Links von der Null kannst du die Funktion ohne absetzen zeichnen und rechts davon auch.

Wörtlich: "D ist Teilmenge von |R. Für f: D -> |R bedeutet Stetigkeit, dass man 'den Graphen von f ohne Absetzen zeichnen kann'."
Denke aber auch, dass das eher als Faustregel gemeint ist und nicht als mathematische Behauptung verstanden werden sollte.

Wenn man den Graphen ohne Absetzen zeichnen kann, dann ist die Funktion auch stetig. Die Umkehrung gilt aber nicht.

Obwohl natürlich "zeichnen ohne Absetzen" kein mathematischer Ausdruck ist.

ist halt am anfang zum verständnis ganz gut

Original von Onken
Wenn man den Graphen ohne Absetzen zeichnen kann, dann ist die Funktion auch stetig. Die Umkehrung gilt aber nicht.

Ist es nicht genau umgekehrt? Wenn eine Funktion stetig ist, kann ich sie zeichnen ohne abzusetzen. Kann ich eine Funktion zeichnen ohne abzusetzen, muss sie aber nicht stetig sein.

f:{1,2}-> |R
1->1
2->2

Ich bilde also die eins auf eins ab und die zwei auf zwei. Die Funktion ist stetig, da sie nur isolierte Punkte enthält. Aber malen ohne absetzen wird schwer.

Wenn du mir eine Funktion nennen kannst,die man ohne absetzen malen kann, aber nicht stetig ist, nur her damit. Vll lässt sich ja was lustiges konstruieren, ich denke jedoch, nicht.

Ich bezweifle, dass die von dir genannte Funktion stetig ist. Stetigkeit liegt ja dann vor, wenn beliebig kleine Änderungen im Argument zu beliebig kleinen Änderungen des Funktionswertes führen. Das ist da nicht der Fall.

Aber ich hab auch einen Fehler gemacht. Hab Stetigkeit mit Differenzierbarkeit verwechselt.

Dann lies dir doch bitte nochmal die Definition von Stetigkeit durch und was Malen mit Differenzierbarkeit zu tun hat, erschließt sich mir nicht.

Original von Zinsch
Ich bezweifle, dass die von dir genannte Funktion stetig ist. Stetigkeit liegt ja dann vor, wenn beliebig kleine Änderungen im Argument zu beliebig kleinen Änderungen des Funktionswertes führen. Das ist da nicht der Fall.

Das ist für Funktionen f: R --> R richtig. Der Begriff stammt aber aus der Topologie.
Eine Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen ist stetig, wenn die Urbilder offener Mengen offen sind.