[Geschlossen] Induktionsbeweis p^n > n² für n aus N

omg induktionsbeweis^^ jetz hasste mich anwas erinnert ... mein lehrer damals ahh^^ ... wie auch immer in der überschrift steht f.a ... da soll also nciht gelten?

Sollte "für alle" heißen ♦

loes mal die rechte seite auf

bin mir nicht ganz sicher aber probier mal so weiter:

rechte seite binomische formel auflösen ergibt

p * p^n > n² + 2n + 1

wenn du jetzt die annahme verwendest und p^n = n² setzt machst du die linke höchstens kleiner was in ordnung ist.

p * n² > n² + 2n + 1

durch n² teilen

p > (2n+1) / n²

rechte seite mit n² multiplizieren macht die rechte seite größer, also in ordnung.

p > (2n+1)

2n+1 > 3 für alle n aus N

hoffe das stimmt so ungefähr.

Original von MrMaxx
bin mir nicht ganz sicher aber probier mal so weiter:

rechte seite binomische formel auflösen ergibt

p * p^n > n² + 2n + 1

wenn du jetzt die annahme verwendest und p^n = n² setzt machst du die linke höchstens kleiner was in ordnung ist.

p * n² > n² + 2n + 1

durch n² teilen

p > (2n+1) / n²

rechte seite mit n² multiplizieren macht die rechte seite größer, also in ordnung.

p > (2n+1)

2n+1 > 3 für alle n aus N

hoffe das stimmt so ungefähr.

nh sir

bin jetzt mir garnicht mehr so sicher ob das alles stimmt,

aber ich denke meine ersten beiden schritte kann man verwenden.

Original von MrMaxx
bin mir nicht ganz sicher aber probier mal so weiter:

rechte seite binomische formel auflösen ergibt

p * p^n > n² + 2n + 1

wenn du jetzt die annahme verwendest und p^n = n² setzt machst du die linke höchstens kleiner was in ordnung ist.

edit: ist wohl in ordnung!

beweis sieht dann aber wie folgt aus:

p*n^2 >
2*n^2 soll sein: > (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1

beide seiten -n^2 ->
n^2 soll sein > 2n+1
wenn diese ungleichung erfuellt ist, ist auch die urspruengliche formel gueltig.

also neue induktion starten.
fuer n= 3 (fuer n=0,1,2 ist die urspruengliche ungleichung ja trivial und erfuellt)
9>7, induktionsvorraussetzung gegeben.

(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 > 2n+1+2n+1 > 4n + 2 > 2n+2 > 2(n+1)

Für n=1 und n=2 ist die Behauptung offensichtlich richtig.
Für n>=2 gilt:
(n+1)^2 = n^2+2n+1 < 3*n^2 < 3*p^n <= p^(n+1)