Chartanalyse

Original von Sleyde
Wenn es kein Random Walk ist, dann kann es auch kein Martingal sein, denn ein Martingal ist ein Random Walk mit Drift 0 oder?!

Nein, ein Randomwalk ist einfach ein prozess, wo die zuwächse i.i.d. sind. Der Wienerprozess ist z.b. einer, der standardprozess für aktienentwicklungen im Black Scholes modell nicht. Für jeden Randomwalk gibt es ein Maß unter dem er auch ein Martingal ist. Martingal ist aber viel allgemeiner. In allen gängigen Modellen ist z.b. die entwicklung von assets ohne duration ein martingal unter dem risk neutral meassure und assets mit duration sind martingale unter dem forward meassure (numeraire cash --> bond).

Original von Sleyde
Unabhängig davon, das gilt es auch nicht zu zeigen! Es ist längst gezeigt worden in zahlreichen empirischen Studien, dass Renditen keinem Markovprozess folgen, sondern dass es z.B. signifkante Autokorrelationen zwischen Vergangenheitsrenditen und Gegenwartsrenditen gibt.

1. Mir ging es nur darum, dass niemand behauptet, dass irgendwas in der Finanzwelt ein Randomwalk ist. Dies empirisch nachzuweisen ist dementsprechend auch leicht. Nachzuweisen, dass es kein sinnvolles maß gibt unter dem ein empirisch untersuchbarer prozess ein martingal ist, ist dagegen vermutlich schwer.

2. Ich bin kein experte in zeitreihenanalyse und weiß daher auch nicht, wie man prüfen kann, ob ein prozess die markoveigenschaft besitzt. Nur weil ein prozess autokorreliert ist, heißt das doch lange nicht, dass er nicht markovsch ist, oder?

Beispiel wäre eine markovkette mit 2 zuständen und der übergangsmatrix [0.99 0.01 ;0.01 0.99]. Dieser Prozess hat eine autokorrelation von fast 1 (auf eine verschiebung von einer zeiteinheit). Oder übersehe ich da etwas?

Hm, mein Verständnis war bisher so:

Ein stochastischer Prozess ist ein Martingal, wenn:

E[P(t+1) | P(t), P(t-1), ... ] = P(t) <=> E[P(t+1) - P(t) | P(t), P(t-1), ... ] = 0

P soll hier mal für Preis stehen. D.h. der bedingte Erwartungswert ist gleich dem Wert der vorherigen Beobachtung.

Implikation: die Martingaldifferenz (Preisänderungen) sind ein "fair game" + nicht überlappende Preisänderungen sind über alle Zeitdifferenzen unkorrelliert -> wenn es empirisch serielle Korrelation gibt, kann die Hypothese nicht gehalten werden. Rein theoretisch wäre es auch nicht sehr plausibel, da keine Kompensation für Risiko gäbe und erwartete Preisänderungen immer Null wären.

Ein Random Walk ist einfach nicht-stationäres autoregressives Modell (in der Basisform mit e(t) i.i.d. normalverteilt)

P(t) = µ + P(t-1) + e(t)

Also das, was du sagst. Wenn das in der Gleichung log-preise wären, hätten wir einfach:

r(t) =P(t) - P(t-1) = µ + e(t) und E[r(t)] = µ und E[r(t+1)| P(t), P(t-1) , ... ] = µ != 0

Also wäre meine Schlussfolgerung, dass ein Random Walk mit µ=0 ein Martingal ist, aber nicht jedes Martingal ein Random Walk. Vielleicht ist meine Definition von Random Walk / Martingal aber auch veraltet (bin kein Mathematiker), lasse mich gerne eines besseren belehren!

Für Black-Scholes ist der stochastische Prozess doch:

dP = r*P*dt + sigma*P*dW

mit r Zins, sigma Volatilität und dW Wienerprozess Zuwachs. Warum ist das kein Random Walk? Die dW Zuwächse sind doch i.i.d. ?

Beispiel wäre eine markovkette mit 2 zuständen und der übergangsmatrix [0.99 0.01 ;0.01 0.99]. Dieser Prozess hat eine autokorrelation von fast 1 (auf eine verschiebung von einer zeiteinheit). Oder übersehe ich da etwas?

Also das was ich als "markov-eigenschaft" in Erinnerung hatte, war eigentlich, dass Preise heute nicht von der Vergangenheit abhängen. Und dann wäre eine signifikante Autokorrelation mit Vergangenheitsrenditen nicht in Ordnung. Aber vermutlich ist meine Definition von markov-eigenschaft dann einfach nicht richtig.

Irgendwie finde ich es aber witzig, wie jede Fachrichtung so seinen eigenen Jargon entwickelt (ob jetzt Chartanalyse, Zeitreihenanalyse oder Stochastische Analysis), aber im Endeffekt alle auf das selbe abzielen. Man könnte meine Defintion von Random Walk sicherlich auch ganz anders aufschreiben.

Mich würde überhaupt interessieren was ein Martingal ist und was er jetzt genau damit zu tun hat, bin zwar auch Mathematiker, aber eher auf Numerik spezialisiert. Markovketten sagen mir was, aber kann die jetzt nicht so ganz zu der Thematik einordnen. Ich dachte es würde reichen zu zeigen, dass die Daten nicht nur rein vom Zufall abhängig sind. Zeitreihen kenne ich halt von BWL, also jetzt auch nicht etrem mathematisch vertieft.

Original von Sleyde
Hm, mein Verständnis war bisher so:

Ein stochastischer Prozess ist ein Martingal, wenn:

E[P(t+1) | P(t), P(t-1), ... ] = P(t) <=> E[P(t+1) - P(t) | P(t), P(t-1), ... ] = 0

P soll hier mal für Preis stehen. D.h. der bedingte Erwartungswert ist gleich dem Wert der vorherigen Beobachtung.

Implikation: die Martingaldifferenz (Preisänderungen) sind ein "fair game" + nicht überlappende Preisänderungen sind über alle Zeitdifferenzen unkorrelliert -> wenn es empirisch serielle Korrelation gibt, kann die Hypothese nicht gehalten werden. Rein theoretisch wäre es auch nicht sehr plausibel, da keine Kompensation für Risiko gäbe und erwartete Preisänderungen immer Null wären.

Die definition stimmt, aber man kann den erwartungswert ja bzgl. verschiedenen W-maßen bilden. Das vorgehen für den test auf arbitragefreiheit wäre etwa so:
Gehen wir mal davon aus, dass die zinsen deterministisch sind und die Vol von meinem Prozess konstant ist. B sei mal der Preis eines Zerobonds. Jetzt müsste ich prüfen, ob es ein maß gibt, sodass P/B ein Martingal ist. Wenn das so ist, dann ist P arbitragefrei. (sind die Zinsen nicht deterministisch oder die Vol nicht kostant kann man nicht durch den bondpreis teilen sondern muss das über den forward machen)

Ich bin mir nicht sicher, ob eine autokorrelation in P wirklich immer die arbitragefreiheit zerstört. Es könnte sein, dass sich die korrelation durch die wahl des entsprechenden numeraires (also wenn ich nicht durch B teilen muss, sondern irgendwas kompliziertes) wieder raushebt. Ob arbitrage möglich ist hängt ja sehr vom unterliegenenden Zinsprozess ab.

Aber um arbitragefreiheit gehts ja eigentlich auch nicht direkt. Wenn man über chartanalyse diskutieren will, ist die markoveigenschaft wohl interessanter.

Original von Sleyde
Ein Random Walk ist einfach nicht-stationäres autoregressives Modell (in der Basisform mit e(t) i.i.d. normalverteilt)

P(t) = µ + P(t-1) + e(t)

Also das, was du sagst. Wenn das in der Gleichung log-preise wären, hätten wir einfach:

r(t) =P(t) - P(t-1) = µ + e(t) und E[r(t)] = µ und E[r(t+1)| P(t), P(t-1) , ... ] = µ != 0

Also wäre meine Schlussfolgerung, dass ein Random Walk mit µ=0 ein Martingal ist, aber nicht jedes Martingal ein Random Walk.

Der Unterschied ist, dass beim Martingal nur aussagen über den EV getroffen werde. Die verteilung kann aber von allem möglichen abhängen und muss nicht i.i.d. sein.

Original von Sleyde
Für Black-Scholes ist der stochastische Prozess doch:

dP = r*P*dt + sigma*P*dW

mit r Zins, sigma Volatilität und dW Wienerprozess Zuwachs. Warum ist das kein Random Walk? Die dW Zuwächse sind doch i.i.d. ?

Die Zuwächse sind nicht i.i.d., sie hängen ja vom aktuellen preisniveau P ab (P*dW). Wenn die Preise niedrig sind, habe ich auch kleinere erwartete Zuwächse. Der prozess der log returns ist aber dann ein randomwalk.

Bei realistischeren Modellen hat man ein r und sigma, was stochastisch und/oder von t abhängig ist. Da hat man dann auch bei den logreturns keinen random walk.

Original von Sleyde
Also das was ich als "markov-eigenschaft" in Erinnerung hatte, war eigentlich, dass Preise heute nicht von der Vergangenheit abhängen. Und dann wäre eine signifikante Autokorrelation mit Vergangenheitsrenditen nicht in Ordnung. Aber vermutlich ist meine Definition von markov-eigenschaft dann einfach nicht richtig.

Die definition der markoveigenschaft ist E(P(t+1)|P(t)) = E(P(t+1)|P(t), P(t-1), P(t-2), ...).
Für den EV ist also nur der letzte Preis entscheidend, alle Preise davor sind egal. Wenn ein prozess diese eigenschaft erfüllt ist chartanalyse sinnlos, da alle infos ja im letzen punkt stecken.

Solche Prozesse können aber auch autokorreliert sein. Also ist ein nachweis der autokorrelation kein argument für die chartanalyse.

Was mich eher interessiert: wer von euch hat schon positive erfahrungen (Erfolge) mit der technischen Chartanalyse gemacht?
Ich fahre komplett auf der Fundamentalanalyse.

Die definition stimmt, aber man kann den erwartungswert ja bzgl. verschiedenen W-maßen bilden. Das vorgehen für den test auf arbitragefreiheit wäre etwa so:
Gehen wir mal davon aus, dass die zinsen deterministisch sind und die Vol von meinem Prozess konstant ist. B sei mal der Preis eines Zerobonds. Jetzt müsste ich prüfen, ob es ein maß gibt, sodass P/B ein Martingal ist. Wenn das so ist, dann ist P arbitragefrei. (sind die Zinsen nicht deterministisch oder die Vol nicht kostant kann man nicht durch den bondpreis teilen sondern muss das über den forward machen)

Also für mich macht es ökonomisch keinen Sinn, an der Hypothese festzuhalten, dass Preise an einem Martingal folgen. Es macht keinen Sinn, dass erwartete Preisänderungen für jedes Asset 0 sind und es keine Kompensation für erhöhtes Risiko gibt. Es ist auch keine notwendige Bedingung für die Effizienzmarkthypothese, denn selbst deren schwächste Form sagt nur aus, dass erwartete abnormale Renditen 0 sind. Ein Test des effizienten Marktes kann denke ich nur so erfolgen (nicht unbedingt auf Arbitragefreiheit, denn da geht es ja laut Definition glaube ich nur um risikolose Profite): empirisch schauen, ob die abnormalen Renditen 0 sind, wobei man da jedoch immer ein dynamisches Gleichgewichtsmodell spezifieren muss, um zu bestimmen, was die erwartete Rendite denn wäre. Und dann testet man zwei Hypothesen gleichzeitig: dass der Markt effizient ist und dass das spezifierte Modell korrekt ist. Und so wie ich das verstanden habe failen daran halt auch viele Studien, weil sie sich daran aufhalten ein Gleichgewichtsmodell für die erwartete Rendite zu erstellen. Ein anderer Ansatz ist eben zu testen, ob technische Patterns helfen, Preise vorherzusagen, nicht ob man daraus abnormale Renditen erzielen könnte! (Nur realisierte Renditen zu betrachten macht auch keinen Sinn, denn vieleicht sind bestimmte Tradingstrategien einfach mit mehr Risiko verbunden). Und so wie ich das verstehe ist das dann genau ein Test für die Markoveigenschaft. Die eine Studie schaut sich dann z.B. die empirische Distribution der unbedingten Renditen (d.h. einfach die normalen Renditen) mit der Distribution der bedingten Renditen (bedingt darauf, dass ein vorher spezifiertes Pattern tatsächlich eingetreten ist) und vergleicht, ob die Verteilungen sich signifikant voneinander unterscheiden. Wenn ja, was das Ergebnis zu sein scheint, dann helfen technische Patterns Preise vorherzusagen - offen gelassen aber ist, ob man damit dann wirklich abnormale (sprich risikoadjustierte Renditen) erzielen kann. Eine notwendige Bedingung für letzteres ist es aber.

Der Unterschied ist, dass beim Martingal nur aussagen über den EV getroffen werde. Die verteilung kann aber von allem möglichen abhängen und muss nicht i.i.d. sein.

Also da seh ich noch nicht, warum meine Rechnung falsch ist. Bei einem Martingal ist der bedingte Erwartungswert gleich dem Wert der vorherigen Beobachtung, d.h. der bedingte Erwartungswert der Differenz ist 0. Aber bei einem Random Walk mit Drift ist der bedingte Ewartungswert der Differenz eben nicht 0, sondern gleich dem Drift. D.h. nicht jedes Martingal ist ein Random Walk.

Das mit dem Martingal hatte ich nur in den Raum geworfen, weil ich dachte Martingal-->arbitragefrei, könnte ja interessant sein zu prüfen. Aber du hast schon recht, es kann Arbitragefreiheit vorliegen und trotzem kann es möglich sein eine abnormale rendite zu erzeugen (nur nochmal um sicherzugehen, die abnormale rendite ist im prinzip das selbe wie alpha im CAPM?)

Dennoch muss ich dazu einige sachen klarstellen, die ich evtl nicht gut beschrieben habe: Man geht nicht davon aus, dass der Preis in EUR ein Martingal ist, sondern wählt eine andere Einheit dafür. Wenn meine Aktie heute ein Bond wert ist, dann ist sie das im erwartungswert auch morgen, wenn ich den erwartungswert bzgl der risikoneutralen verteilung bilde. Das coole ist jetzt, dass wenn mein prozess Aktienpreis/Bondpreis ein Martingal unter der risikoneutralen verteilung ist, dann ist er auch unter dem real-world-meassure arbitragefrei. Eine Portfolio ist genau dann ein arbitrage-portfolio in der risikoneutralen welt, wenn es auch in der realen welt mit risikopremien usw ein arbitrage-portfolio ist.

Zu dem Rest:

Ein anderer Ansatz ist eben zu testen, ob technische Patterns helfen, Preise vorherzusagen, nicht ob man daraus abnormale Renditen erzielen könnte! (Nur realisierte Renditen zu betrachten macht auch keinen Sinn, denn vieleicht sind bestimmte Tradingstrategien einfach mit mehr Risiko verbunden). Und so wie ich das verstehe ist das dann genau ein Test für die Markoveigenschaft. Die eine Studie schaut sich dann z.B. die empirische Distribution der unbedingten Renditen (d.h. einfach die normalen Renditen) mit der Distribution der bedingten Renditen (bedingt darauf, dass ein vorher spezifiertes Pattern tatsächlich eingetreten ist) und vergleicht, ob die Verteilungen sich signifikant voneinander unterscheiden. Wenn ja, was das Ergebnis zu sein scheint, dann helfen technische Patterns Preise vorherzusagen - offen gelassen aber ist, ob man damit dann wirklich abnormale (sprich risikoadjustierte Renditen) erzielen kann. Eine notwendige Bedingung für letzteres ist es aber.

Ja das ist ein test, der die markoveigenschaft widerlegt (der nachweis von autokorrelation tut das nicht). Wenn ich dich richtig verstehe impliziert das dann, dass ich zwar den EV des neuen Preises durch die vergangenheit besser bestimmen kann als nur mit dem letzen punkt, allerdings kann das auch daran liegen, dass mir das pattern sagt, dass sich das risiko bzw die risikoprämie verändert hat und deswegen der heutige preis trotzdem fair ist. Als investor könnte ich in dem fall trotzdem kaufen und verkaufen ohne auf den chart zu schauen, die schwache effizienz ist ja, wie du schon sagst damit nicht widerlegt. Interessant ist das resultat natürlich trotzdem.

Also da seh ich noch nicht, warum meine Rechnung falsch ist. Bei einem Martingal ist der bedingte Erwartungswert gleich dem Wert der vorherigen Beobachtung, d.h. der bedingte Erwartungswert der Differenz ist 0. Aber bei einem Random Walk mit Drift ist der bedingte Ewartungswert der Differenz eben nicht 0, sondern gleich dem Drift. D.h. nicht jedes Martingal ist ein Random Walk.

Nicht jeder Randomwalk ist ein Martingal, aber ich kann aus jedem Randomwalk eines machen durch änderung der bezugseinheit (also dann P_t / t* µ oder sowas). Andersrum gibt es Martingale, die keine randomwalks sind, weil die zuwächse nicht i.i.d. sind. Ein Prozess wo die zuwächse abwechselnd normal- und gleichverteilt sind, kann doch auch ein martingal sein, aber kein randomwalk.

Das mit dem Martingal hatte ich nur in den Raum geworfen, weil ich dachte Martingal-->arbitragefrei, könnte ja interessant sein zu prüfen. Aber du hast schon recht, es kann Arbitragefreiheit vorliegen und trotzem kann es möglich sein eine abnormale rendite zu erzeugen (nur nochmal um sicherzugehen, die abnormale rendite ist im prinzip das selbe wie alpha im CAPM?)

Wenn du mit alpha das Residuum meinst und nicht den Intercept, dann ja. Abnormale Rendite ist einfach: r - E[r] = rf + beta*(rm-rf) + e - (rf + beta*(rm-rf)) = e. Also all das, was durch das Modell nicht erklärt wird.

Dennoch muss ich dazu einige sachen klarstellen, die ich evtl nicht gut beschrieben habe: Man geht nicht davon aus, dass der Preis in EUR ein Martingal ist, sondern wählt eine andere Einheit dafür. Wenn meine Aktie heute ein Bond wert ist, dann ist sie das im erwartungswert auch morgen, wenn ich den erwartungswert bzgl der risikoneutralen verteilung bilde. Das coole ist jetzt, dass wenn mein prozess Aktienpreis/Bondpreis ein Martingal unter der risikoneutralen verteilung ist, dann ist er auch unter dem real-world-meassure arbitragefrei. Eine Portfolio ist genau dann ein arbitrage-portfolio in der risikoneutralen welt, wenn es auch in der realen welt mit risikopremien usw ein arbitrage-portfolio ist.

Ah, das Wort Martingal hatte ich in dem Zusammenhang noch nicht gehört (steht aber auch bei Wikpedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Risk-neutral_measure ).

Ja das ist ein test, der die markoveigenschaft widerlegt (der nachweis von autokorrelation tut das nicht). Wenn ich dich richtig verstehe impliziert das dann, dass ich zwar den EV des neuen Preises durch die vergangenheit besser bestimmen kann als nur mit dem letzen punkt, allerdings kann das auch daran liegen, dass mir das pattern sagt, dass sich das risiko bzw die risikoprämie verändert hat und deswegen der heutige preis trotzdem fair ist. Als investor könnte ich in dem fall trotzdem kaufen und verkaufen ohne auf den chart zu schauen, die schwache effizienz ist ja, wie du schon sagst damit nicht widerlegt. Interessant ist das resultat natürlich trotzdem.

Ja! Wobei z.B. die eine Studie (Lo et al.) zum testen, ob die unbedingte Verteilung der Renditen gleich der bedingten Verteilung der Renditen ist, zwei Tests benutzt, die beide IID Renditen als Annahmen haben (einmal chi-quadrat-verteilte Teststatistik und einmal kolmogorov-smirnov). Und das ist ja empirisch nicht so haltbar, von daher fader Beigeschmack. Wenn man sich übrigens auch mal die durchschnittliche Rendite anschaut, sind die bei den Verteilungen ziemlich gleich! D.h. das Urteil, dass die Verteilungen ungleich sind, kommt vermutlich von Varianz, Skewness, Kurtosis. Für Markteffizienz sollte aber vor allem der erste Moment entscheidend sein.

Ich glaube mein Fazit ist: mit Hilfe mancher technischer Pattern kann man vielleicht zukünftige Preise vorhersagen. Aber welche Patterns in welchem Zeitrahmen und welchem Markt signfikant sind ändert sich auch von Studie zu Studie. Plus wie gesagt die Teststatisiken sind nicht so ganz ordentlich, mal abgesehen von den ganzen anderen Schätzungen/Approximationen, die vorgenommen werden. Dass man aus der potenziellen Vorhersagbarkeit der Preise profitable Tradingstrategien ableiten kann, bezweifle ich. Es lebe die Markteffizienz!