Nash-ranges för push-eller-fold-spelet

Introduktion

I denna artikel

• Är push-eller-fold-läget enligt Nash idealiskt?
  
• Kan en push eller syn enligt Nash vara -EV?
• När och hur du bör anpassa ditt spel
• Beror dessa anpassningar på storleken på ICM-effekten (bubbelfaktorn)?
  

Att spela bra heads-up är direkt nödvändigt om du ska spela SNG framgångsrikt. Då blindsen oftast är väldigt höga när du väl kommer till HU hamnar du huvudsakligen i situationer där du foldar före floppen eller går all-in - detta kallas för push-eller-fold-spel.

Så kallade Nash-ranges (NR) spelar en betydande roll i detta sammanhang. Eftersom du ofta stöter på en fisk i heads-up, som har byggt upp sin stack genom galna ageranden, måste du vara försiktig när du använder dessa Nash-ranges i ditt spel.

Denna artikel kan användas som ett komplement till och utvidgning av artiklarna SAGE – System för spelet i slutet av SnGs och Push-eller-fold i Heads-up.

Det är inte nödvändigt att ha läst dessa artiklar för att förstå denna artikel. Det så kallade SAGE baseras i princip på Nash-equilibria; SAGE förenklar detta så att det blir lättare att memorera. Detta gör dock systemet något stelt.

Grunderna

Först och främst måste vi klargöra lite grundläggande terminologi:

Effektiv stack (ES) är en viktig parameter när man analyserar push-eller-fold-situationer i heads-up. Det hänvisar till storleken på den mindre av de två stackarna innan blindsen (och antes) har lagts ut och mäts i BBs. Därför är ES alltid samma för båda spelare.

Nivån för blindsen (BL) är 500/1000; när du har betalat SB har du 5 500 marker kvar, medan din motståndare i BB har 8 000 marker kvar. I denna situation är ES = 6.

En range i poker hänvisar till ett visst urval av händer. När det handlar om push-eller-fold-situationer är det främst "x %-ranges" som är relevanta: De består av de starkaste x % av de 1 326 tänkbara starthänderna.

Denna definition är dock inte helt bestämd eftersom den relativa styrkan av en hand alltid beror på den specifika situationen och detta gäller även för push-eller-fold-situationer.

Om ES = 9, består calling-range (CR) av 42,7% av händerna 22+, Ax+, K2s+, K4o+, Q4s+, Q8o+, J7s+, J9o+, T8s+, T9o, 98s. Tecknet + betyder att alla händer med en bättre kicker (eller större PPs) också finns med i denna range. En hand som K4 är därför en del av denna range, medan 87s inte är det.

Jämför detta med pushing-rangen (PR) på 43,3%  för ES = 16. Den består av händerna 22+, Ax+, K2s+, K7o+, Q5s+, Q9o+, J6s+, J9o+, T6s+, T9o, 96s+, 98o, 85s+, 75s+, 65s, 54s. Du kan se att K4, K5 och K6 inte finns med här, medan 54s gör.

Exemplet illustrerar att en range på 43% för en syn med ES = 9 inte är samma som rangen för en push med ES = 16. Det är därför som vi alltid kommer ta med de relevanta händerna i kommande illustrationer. %-tecknen och de exakta ranges är tagna från ICM-räknaren (ICM calculator) på www.holdemresources.net.

Det är lätt att förstå att följande också gäller:

Om du lägger till en slumpvis utvald hand till en %-range får du en ny %-range när denna hand är den starkaste handen utanför rangen. Vice versa om du tar bort en hand från en %-range får du en ny %-range när denna hand är den svagaste handen inom den rangen.

Du har redan stött på Independent Chip Model i några tidigare artiklar:

Independent Chip Model (ICM), Exempel och förklaringar till ICM och Avancerad ICM.

En HU karaktäriseras av det faktum att ICM inte längre kan användas. Det är därför som HU i en SNG (precis som en HU i en MTT) är i princip samma som HU i ett cash game, där varje mark är värd

[($ 1:a plats) - ($ 2:a plats)] / (Totalt antal marker).

Om du ska pusha din hand eller syna en push i en HU beror därför huvudsakligen på följande parametrar:

• Din ES
• Din motståndares calling- eller pushing-range

Bortsett från HU finns det alltid en viss grad av ICM-effekten i MTTs och SNGs. Denna effekt brukar vara som störst på bubblan och kallas därför även för bubbelfaktorn (se Bubbelfaktorn i olika SnG-format).

Nash i HU

Det mesta av teorin och de flesta exemplen i denna sektion baseras på heads-up-spel i SNG med 9-10 spelare med ES <= 20 och utan antes. Samma slutsatser kan dock generellt appliceras till HU i en MTT eller blind-battle i ett cash-game. Som vanligt kallar vi motståndaren för Villain. Alla resultat och exempel i denna sektion beräknas med en (framtida) fördel på 0%. I många fall rundar vi av %-antalen till naturliga siffror, så 42,7% blir alltså 43% till exempel.

Expected value eller det förväntade värdet (EV) hänvisar till det genomsnittliga resultatet i ett slumpmässigt experiment. För push-eller-fold-spelet i en heads-up-situation är EV beträffande parametern "medelantalet marker efter action (i BBs) minus antalet marker innan action" relevant.

Vi kommer nu att göra skillnad på range-EV (REV) för en push (eller syn) och hand-EV för en push (eller syn) med en specifik hand. Både beror på blindsen och din motståndares calling-range (eller pushing-range).

Du är i BB med ES = 9, din motståndares calling-range är 42,7% (22+, Ax+, K2s+, K4o+, Q4s+, Q8o+, J7s+, J9o+, T8s+, T9o, 98s):

• Din push med T8 har en HEV på omkring 0.
• Din push med A2 har en HEV på 1 BB (se uträkningen i efterskriften).
• Din push med en range på 58,7% (22+, Kx+, Q2s+, Q5o+, J2s+, J8o+, T5s+, T8o+, 95s+, 97o+, 85s+, 87o, 74s+, 64s+, 53s+) har en REV på omkring 0,5 BB (läs mer om detta i nästa sektion).

Generellt beräknas REV på följande sätt:

(1) REV(Range) = Summa_{Hand från range} HEV(Hand)* P(Hand)

P(Hand) hänvisar till sannolikheten att du blir tilldelad denna hand.

I ovan nämnda exempel är A2 därför en hand över genomsnittet i pushing-rangen, eftersom dess HEV är högre än dess REV.

En generell slutsats är att REV ökar om du lägger till en hand med +HEV till en range och minskar om du lägger till en hand med -HEV till en range. En hand med 0HEV påverkar inte REV.

Om du planerar att öka din range skulle det vara mest logiskt att välja den starkaste handen utanför rangen först. Denna hand har det största HEV och ökar därför REV mer än någon annan. Även om den starkaste handen utanför rangen är -HEV skulle det i alla fall minska REV mindre än någon annan hand om du lägger till denna hand till rangen. Om du väljer att minska rangen bör du ta bort de svagaste händerna från rangen först. Som vi beskriver i sektionen "Ranges" är det på detta sätt som nya %-ranges kommer fram från andra %-ranges.

Vi kommer nu titta på hur Nash-equilibria definieras. Vår definition kommer dock att skräddarsys till push-eller-fold-situationer i en heads-up.

Föreställ dig att du är i en HU med en ES på 9 BB till exempel. I detta scenario pushar du med en range på x% och din motståndare synar en push med y%. Därför har ni båda en viss REV, som mycket väl kan skilja sig.

Ett Nash-equilibrium (även kallad Nash-ranges, NR) består av ranges (x%, y%) så att varken du eller din motståndare kan öka sin REV genom att modifiera sin range medan den andra behåller sin. x kallas sedan för Nash-pushing-range (NPR) och y för Nash-calling-range (NCR) och du säger att spelaren pushar (eller synar) enligt Nash.

Med tanke på teorin i förra sektionen kan vi konstatera:

NRs innehåller alla de ranges som består av alla händer med +HEV och inga händer med -HEV. Det är förstås ett krav att motståndaren synar enligt Nash (eller att han pushar enligt Nash när det handlar om NCRs).

Vad som händer nu är att när din motståndare avviker från NR ökar din REV. Detta beror på att man med "avvika" menar att han lägger till en hand med -HEV eller tar bort en hand med +HEV. Då detta minskar hans REV ökar det din REV.

Läs mer om REVs i sektionen "Range-EV för Nash-ranges".

Slutligen bör det läggas till att NRs i ICM-modellen är i princip endast beroende av ES. Det spelare ingen roll här om du spelar med 5 BBs mot en 10 BB-stack eller mot en 100 BB-stack.

Det är ganska enkelt att beräkna NRs illustrerade i förra sektionen. Alla ranges beräknades med ICM-räknaren, som finns att hämta gratis på www.holdemresources.net, men kan även räknas ut med PokerStrategy.com:s ICM-Trainer till exempel. Små variationer på 0,5% kan inträffa mellan de olika programmen och ibland kan resultaten skifta med en hand. Dessa skillnader spelar dock ingen viktig roll.

Följande tabeller ger en överblick. För versionen som innehåller antes är dessa 10% av BB. Andra strukturer, såsom de på PokerStars (antes på mellan 12,5% och 5% av BB, beroende på nivån) leder till ett något annorlunda resultat. Om de är 5% av BB, till exempel, kan du ta medeltalet från båda tabellerna. 

Tabell 1 (utan ante):

Tabell 2 (med ante):

Varje ES har sin egen linje. I kolumn 2 hittar du motsvarande NPR (i SB) och i kolumn 3 motsvarande NCR (i BB).

Här hittar du en annan tabell som i princip innehåller samma information, men visas på ett annat sätt. Fördelen med denna tabell är att den är mer koncis. I tabellen ovan är fördelen att du får en bättre känsla för ranges hos varje ESs. Till exempel är det enklare för dig att se hur många svagare händer du fortfarande kan pusha med eller hur mycket bättre din hand behöver vara för att du ska syna.  

Vi kommer nu ta en närmare titt på REV för NRs. Då det exakta värdet inte är särskilt viktigt för ett idealiskt spel kan du skippa den här sektionen om du vill. Det enda viktiga är att välja en range med största möjliga REV.

Först och främst är det inte längre ett klassiskt nollsummespel att spela en hand i Texas Hold'em efter att man betalat blinds. Totalt sett kan du vinna blindsen plus summan av dina motståndares vinster och förluster. Det skulle endast vara ett nollsummespel om du aldrig hade behövt betala några blinds. I detta scenario finns det dock bara ett vettigt sätt att spela: Spela inte alls eller pusha och syna endast AA. Inte ett spel med stora fördelar.

I sektionerna "Hand-EV och range-EV" och "Nash-equilibria i en HU" såg du redan att alla händer i NRs är +HEV (eller 0HEV). Vad innebär det nu när handen T8 i Exempel 3 har en HEV på nästan 0? Det innebär att du nästan inte kommer vinna någonting om du pushar mot din motståndares calling-range på 43%.

Vice versa betyder detta att din motståndares calling-range har en REV på nästan 1,5 BB om du pushar med T8. Eftersom han foldar 57% av gångerna och inte vinner några marker måste han vinna i genomsnitt 1,5 BB / 43% = 3,5 BB i de återstående fallen. Du förlorar därför i genomsnitt 3,5 - 1,5 BB om du blir synad.

Om du har AA istället för T8 ser situationen bättre ut förstås. Din push har en HEV på omkring 3,8 BB, bestående av 1,5 BB i de 57% av fallen när du inte blir synad och 43 % när du blir synad, med en EV på runt 6,9 BB.

Alla andra händer har en EV på mellan 0 och 3,8 BBs.

Du kan nu räkna ut REV som vi gjorde i formel (1). Detta är dock ganska tråkigt. Ett annat alternativ är att hitta resultatet i PokerStrategy.com:s ICM Trainer: Equityn innan blindsen är nästan alltid samma som equityn efter handen (om båda spelar enligt Nash). För ES <7,5 BBs är SBs REV större än 0. För större ESs är det mindre än 0, omkring 0,1 BB för ES =15 till 20. Detta betyder att SBs REV är 0,5 BB och BBs REV är 1 BB. Det intressanta är att när det handlar om EV i push-eller-fold-spelet är det nästan helt ovidkommande om du är i SB eller BB i nästa hand.

Tillämpning och modifiering av Nash-ranges

Vad innebär det för ditt spel om du hela tiden följer NRs? I sektionen "Ranges" såg du att REV för en NR växer om din motståndare avviker från NR. Det finns ingen chans för honom att få din REV att sjunka under det värde han får om han också spelar enligt Nash. Det är detta som folk menar när de säger: "Att spela enligt Nash är inte exploaterbart".

Endast ett fåtal av dina motståndare kommer dock spela helt enligt Nash när de är i en HU-situation. Om din motståndare spelar med en annan range betyder detta även en annan HEV för dina händer. Detta leder i sin tur till omständigheten att inte alla händer inom NR fortfarande måste vara +EV och att det kan finnas händer utanför NR som är +EV.

Låt oss titta på några exempel, där alla är ES = 9. Därmed är NPR = 59% och NCR = 43%. Vi kommer att skilja på om du är i SB eller BB och om du har en stark hand från din NR, en svag hand från din NR eller en hand som inte finns med i din NR. För varje scenario kommer vi titta på ändringen i HEV (i BB) i jämförelse med din motståndares range. Mer information om exakta uträkningar kan du hitta i efterskriften.

Du är i SB med ES = 9.

• Händelse 1: Stark hand från Nash-pushing-range:

• Händelse 2: Svag hand från Nash-pushing-range:

• Händelse 3: Hand inte inkluderad i Nash-pushing-range:

Du är i BB med ES = 9.

• Händelse 4: Stark hand från Nash-calling-range:

• Händelse 5: Svag hand från Nash-calling-range:

• Händelse 6: Hand inte inkluderad i Nash-calling-range:

Exemplen illustrerar följande trender:

• Om du har en stark hand och pushar ökar din HEV ju lösare Villain synar.
• Om du har en svag hand och pushar minskar din HEV ju lösare Villain synar.
• Om du själv synar ökar HEV ju lösare Villain pushar, oavsett om du har en stark eller svag hand.

Om du alltid spelar enligt Nash gör du därför ett misstag i följande händelser:

• Misstag 1: Händelse 2, CR = 55% och CR = 70%: Du gör en -HEV-push.
• Misstag 2: Händelse 3, CR = 20% och CR = 30%: Du skippar en +HEV-push.
• Misstag 3: Händelse 5, PR = 25% och PR = 40%: Du gör en -HEV-syn.
• Misstag 4: Händelse 6, PR = 70% och PR = 80%: Du skippar en +HEV-syn.

I dessa händelser bör du modifiera din range.

Som vi förklarade i sektionen "Hand-EV och range-EV" ska du pusha eller syna de händer som är +HEV. Från de trender som illustrerades i förra exemplet kan vi sätta upp följande riktlinjer för modifiering av dina ranges (i enlighet med misstagen 1-4):

• Regel 1: Om Villain synar för löst enligt Nash ska du inte pusha några av de svagaste händerna i NPR. Med dessa svaga händer kan din push vara -HEV.
• Regel 2: Om Villain synar för tight enligt Nash kan du lägga till några svagare händer som ännu inte finns med i din NPR till den rangen. Annars kan du gå miste om en del +HEV-pushar.
• Regel 3: Om Villain pushar för tight enligt Nash ska du inte syna några av de svagaste händerna i Nash CR. Med dessa svaga händer kan din syn vara -HEV.
• Regel 4: Om Villain pushar för löst enligt Nash kan du lägga till några av de starkare händerna som ännu inte finns med i din NCR till den rangen. Annars kan du gå miste om en del +HEV-synar.

Generellt är det mer sannolikt att du stöter på motståndare som är för tighta (regel 2 och 3) men sällan regelbundna spelare som endast spelar enligt Nash. Det är även ovanligt att du möter regelbundna spelare som tiltar, till exempel, och som pushar och synar ännu lösare än enligt Nash (regel 1 och 4).

Det är därför som följande ranges passar bra som standardspel mot okända spelare: Pusha ungefär enligt Nash. Syna lite tightare än du hade gjort enligt Nash tills du är övertygad om att motståndaren pushar åtminstone enligt Nash.

Om du pushar och synar lite för tight mot en spelare som är alldeles för tight har det följande fördelar: Du minskar sannolikheten att det blir en flip. Detta ökar medellängden för spelet och du har mer tid på dig att utnyttja din motståndares läcka.

Du har 2 800 marker, din motståndare har 10 700, blind-nivån är 250/500 och du är i SB. Under de kommande sju händerna gör du tre framgångsrika pushar, foldar en gång och varje gång motståndaren är i SB ger han dig blindsen. Du har nu 6 550 marker, din motståndare har 6 950 och blind-nivån ökar till 300/600. Villain pushar med ES = 11. Istället för ett NPR på 54% ger du honom endast en avsevärt tightare 28% och undrar om du ska syna med A7. Enligt ICM Trainer skulle en syn vara lite +EV. Din motståndare visar dock en enorm läcka genom att ha alldeles för tighta ranges. Du bör därför folda för att det ska fortsätta vara lönsamt.

Sammanfattningsvis visar spelet enligt Nash följande egenskaper:

• Du får en positiv REV.
• REV ökar om din motståndare avviker från NRs.

Men:

• Din REV är inte längre idealisk.
• Vissa händer kan även vara -HEV.

Du bör därför anpassa ranges. Om du endast spelar en hand mot Villain vill du definitivt inte att det ska vara -HEV, även om REV var positiv.

Situationer utanför heads-up

Många av de tidigare resultaten kan enkelt appliceras till situationer utanför HU, såvida inte ICM-effekten är närvarande. Detta är fallet i cash games eller winner-takes-it-all-MTTs eller SNGs.

Generellt kan du även beräkna NR-konstellationer för 3-10 spelare med ICM-räknaren eller ICM Trainer. Ovan nämnda regler för modifiering gäller fortfarande i sammanhanget som följer.

BU = 3200, SB = BB = 5000, BL är 200/400. Den första spelaren får en biljett, de återstående får ingen.

ICM-räknaren ger oss följande NRs:

Detta innebär att du även kan pusha K4s från BU, till exempel, om du inte sätter minst en av motståndarna på en lösare calling-range utan att sätta den andra på en tightare range. För att precisera: Utan att sätta den andra på en range som är så mycket tightare att den överkompenserar den lösare rangen för den andra spelaren. I detta fall bör du använda regel 1, med andra ord pusha tightare och skippa pushen med K4s.

Intressantare är situationer där ICM-effekten eller bubbelfaktorn (BF) är större än 0,5. Dessa är situationer där de vunna markerna är värda mindre än de förlorade markerna. Följande ekvation gäller här:

BF= $value (stack) / $value (2*stack).

I HU-situationer är bubbelfaktorn därför 0,5; i extrema ICM-situationer kan det bli ungefär 1. Typiska exempel på situationer med en hög bubbelfaktor är finalbord i en MTT, en kvaltävling strax innan man kommer till biljetten eller bubblan i en SNG.

Vi tar nu en närmare titt på bubblan i en SNG. Slutsatserna som dras kan sedan appliceras till de andra två situationerna. För exempel 8 lägger vi till en spelare i CO med en liten stack till exempel 7.

CO = 1800, BU = 3200, SB = BB = 5000, BL är 200/400. CO foldar.

Vi får följande NRs:

Det första du ser är att NRs har blivit mycket tightare. Det behöver inte alltid vara på det viset. Om du till exempel spelar big-stack är det mycket möjligt att dina NPRs är större än i jämförbara situationer utan ICM-effekt. Vad händer om du är i SB och undrar om du bör pusha, när BB är en fisk som aldrig har hört talas om ICM och synar alldeles för löst, låt oss säga med 10% av sina händer?

Först blir din push med svaga händer från rangen -HEV igen. Men ICM-effekten kan nu leda till följande:

REV för din NR kan minska om din motståndare avviker från sin NR.

Detta beror på att de andra två spelarna profiterar om BB synar dig för löst. Detta innebär att BB har ett betydligt lägre REV med sin CR på 10% än med NCR, men din REV kan också minska.

Om du inte anpassar din NRs kan din REV till och med bli negativ.

Modifieringsreglerna från den tidigare sektionen måste därför själva modifieras, enligt följande regler:

• Regelmodifiering 1: Ju högre BF desto mer borde du begränsa din range.
• Regelmodifiering 2: Ju högre BF desto mindre borde du utöka din range.
• Regelmodifiering 3: Ju högre BF desto mer borde du begränsa din range.
• Regelmodifiering 4: Ju högre BF desto mindre borde du utöka din range.

Efterskrift

I exemplen 3-5 anges HEV i BBs. Du kan använda programmet SNG Wizard för att beräkna det: Först väljer du stackarna och blindsen så att du får det önskade ES. Med en ES på 9, till exempel, väljer du blinds på 300/600, SB=5400 och BB=9600. Sedan väljer du en specifik hand för SB, en CR för BB och får skillnaden i equity. För att omvandla detta till BB måste du multiplicera detta med

Alla marker i handen (i BBs) / 20

I detta fall skulle detta innebära en faktor på 25/20 =1,25.

LÄNKAR
Relaterade artiklar: Push-eller-Fold i Heads-up Exempel och förklaringar till ICM Avancerad ICM Bubbelfaktorn i olika SnG-format Diskussionsforum: Diskutera artikeln i forumet