无限注德州扑克中的数学概念(4) - 诈唬赢率&G-Bucks
介绍
这篇文章的主要内容
- 五次下注的赢率
- 诈唬赢率
- G-Bucks分析
这篇文章是这个系列的第四篇，也是最后一篇，主讲诈唬和一些特殊的例子，以及G-Bucks这一分析方法。
五次下注分析
在上一篇文章中，翻牌前的四次下注诈唬是主要内容之一。你已经知道了哪些牌应该跟注四次下注后跟注，而哪些应该四次下注后弃牌。口袋对子在这个分析中处在一个特殊的位置，因为它们有较高的赢率。
在这篇文章中，我们将讨论用五次下注诈唬来反击四次下注。很显然，我们在讨论的是半诈唬，而不是纯诈唬。
当你只有大概100BB的有效筹码量时，你不能总是在五次下注之后还最终选择弃牌。因此，你的赢率再次扮演起了非常重要的角色。这里有一个近似值，下面算式中的样本包括12BB的三次下注和28BB的四次下注。三次下注的玩家在拥有35%的赢率时需要多少的弃牌率才能获得0EV呢？
EV = 0 = pFold*(12+28)BB + (1-pFold)*(0.35*112-0.65*88)BB
0 = pFold*40BB - (1-pFold)*18BB
pFold = ~0.3
在这个特殊的情况中，四次下注的玩家只需在三次中弃牌一次就可以使反诈唬有利可图了。下面是一个关于翻牌前赢率的表格：
| vs. | QQ+, AK | TT+, AQ+ | 88+, AJ+, KQ | 22+, AQ+ |
| 55 | 0,36 | 0,37 | 0,39 | 0,4 |
| 56s | 0,31 | 0,32 | 0,33 | 0,33 |
| A2s | 0,28 | 0,3 | 0,35 | 0,32 |
| AQo | 0,24 | 0,34 | 0,47 | 0,4 |
| 范围% | 2,6 | 4,7 | 8 | 8,3 |
小对子很明显有较好的赢率，即使是对一些比较紧的范围。我们已经认识到这一点了。另外，像AQ这样的强牌在对较松的范围时会更有利。在这里我们将不讨论牌面排除效应：AQs在对抗 TT+, AQ+的范围时，有大概35%的赢率，接近于小口袋对子的赢率。
牌面排除效应让AQs比55更适合全押，因为在持有AQs时，"TT+, AQ+范围的牌"出现的可能性比持有55时小30%。A2s和这种情况类似。但是A2s的牌面排除效应没有那么强。因此A2s的赢率比口袋对子低的多。
不同类别的全押范围也没有被考虑在内：
如果一个玩家用很多口袋对子在翻牌前全押，而不是用大牌，那你最好借助更大的对子。原因很简单:如果你不想用一个对子跟注对手的四次下注，但是是愿意用它五次下注，那么在对一个不包括比你更小的口袋对子的范围时，小口袋对子和大口袋对子有几乎相同的赢率(22 vs. TT+, AQ+ 赢率是36%, 99对相同的范围时赢率是37%)。
即使他的范围只包括一些更小的对子，你的赢率也会得到很大的提高(22 vs. 88+, AQ+赢率是36%, 99对相同的范围时赢率是41%)。 因此一共有两种情况:两手牌有一样的赢率，或99的赢率更高。所以你应该选择什么牌已经一目了然了。
SH, 100BB 筹码
翻牌前: Hero在BU位置持有XY
CO 加注到 3.5BB, Hero 加注 11BB, 2人弃牌, CO 加注 28BB, Hero 全押
类似于上面我们计算近似值时的情况。根据Hero的赢率和弃牌率我们可以计算出他的EV：
EV = pFold*40.5BB + (1-pFold)*(Equity*112.5-(1–Equity)*89)BB
通常我们这样分析，让EV = 0，那么pFold就成了筹码量和赢率的一个函数，如下图。
pFold = (112.5*Equity-89*(1–Equity)) / (112.5*Equity-40.5–89*(1-Equity))
赢率的范围从25%到45%，这个函数如下图所示:
计算赢率超过45%的部分是没有意义的，因为负的弃牌率是不可能存在的。计算赢率低于25%的部分也没什么用，因为那种情况不会常常发生。下面是几个精确值:
- pFold ( 25% Equity ) = 0.48
- pFold ( 30% Equity ) = 0.41
- pFold ( 35% Equity ) = 0.31
- pFold ( 40% Equity ) = 0.17
不出所料，需要的弃牌率的变化取决于你的赢率。当你持有一手半诈唬的牌时，你需要25%到32%的弃牌率。
我们也可以确定相关玩家的筹码量对EV的影响。我们需要把公式修改一下:
Equity * 112.5BB - ( 1 – Equity ) * 89BB
我们还是可以用函数来表示这个问题，下面有一些例子:
从底部到顶端，有效的筹码量大小分别是90, 100, 110, 120和130个BB。在计算所需要的弃牌率时，每一个筹码量大小我们都给定35%的赢率 :
- pFold(35% Equity, 90BB Stacks) = 27%
- pFold(35% Equity, 100BB Stacks) = 31%
- pFold(35% Equity, 110BB Stacks) = 34%
- pFold(35% Equity, 120BB Stacks) = 37%
- pFold(35% Equity, 130BB Stacks) = 40%
很明显，所需要的弃牌率随着筹码量的提高而提高了。但是在我看来这个提高低于大多数人所认为的那样。通常玩家们在持有130BB时的全押次数是持有90BB时的1.48倍，正是这个比率(27/40)决定了诈唬的收益性。
同时，很多玩家在持有130BB时会比持有100BB时更多的使用四次下注诈唬，因为他们预期你有很紧的范围，可以让他们得到更多的弃牌率。这一点我们可以直接在牌桌上使用。但是是否要在翻牌前做五次下注诈唬完全取决于你。
最后我们来讨论一下不同的翻牌前加注大小所带来的影响。我们认为下面这些是正确的:四次下注越小，产生的弃牌率就越大(赢率保持不变)。如图所示:
从顶部到底部分别是:
2.5BB → 8BB → 20 BB;
3.5BB → 11BB → 28BB;
4BB → 14BB → 32BB
我们依然把赢率设为35%:
以2.5BB开场 → pFold = 42%,
以3.5BB开场 → pFold = 31%,
以4BB开场 → pFold = 24%.
如你所见，加注大小的影响非常大。我们要时刻注意其他玩家在不同加注大小时的四次下注/弃牌数据。
一些玩家未必会知道这个事实，因为32BB的四次下注不是特别的大。而你应该记住这个事实。当你面对同样知道这个事实的对手时，你需要让你的比赛做出变化。面对那些不知道这些事实的对手时，你不需要做出任何变化。
诈唬 vs. 第二次持续下注
你可能已经知道第二次持续下注的原理: 通常它意味着两次激进的诈唬，以及下注/弃牌的游戏方式。这种特殊下注方式的频率的增加可能性是下面这些分析的基础:
SH, 100BB 筹码
翻牌前: Hero在BU位置持有A
, T, CO持有K
, Q
CO加注到4BB, Hero跟注4BB , 2人弃牌
翻牌圈: (9.5 BB) 6, Q, 5 (2 players)
CO下注8BB, Hero跟注8BB
转牌圈: (25.5 BB) 9 (2 players)
CO下注17BB, Hero加注到50BB
毫无疑问，Hero的这手牌可以有其他不同的打法。例如在翻牌圈加注，在转牌圈跟注或是在翻牌前三次下注。在这里我们不考虑这些下注方式，我们只看Hero在转牌圈的加注。在这个特殊的情况中，我们要清楚下面一点:如果Hero总是用这种下注方式玩成手牌，那他现在这样诈唬或半诈唬才有意义。
另外他的这手牌已经极端化，诈唬的倾向比较明显，所以他很可能会被他希望诈唬走的牌跟注跟注。如果事实真是如此，我们就可以来分析一下这个非常规的半诈唬。
和其他半诈唬一样，EV是:
EV = pFold * 42.5BB + ( 1 – pFold ) * ( 0.2 * 113.5 BB – 0.8 * 88BB )
假设在对抗CO会在转牌圈全押的范围时，赢率是20%，Hero不会对全押弃牌，因此EV的计算是正确的。当EV=0时，我们得到一个弃牌率的最小值为53%。我们例子中的弃牌率能达到这个数字吗？
需要强调的是这只是一个例子:这篇文章的目标不是利用完美的读牌，而只是解释和分析一些情况。我们设定某一下注范围和全押范围，目的都是估算弃牌率的值。你可以自由地选择其他范围，用不同的范围来计算弃牌率，获得不同的结果。
在这个例子中可能的范围是: CO会用顶对+的牌在转牌圈下注，例如 QT, QJ, KQ, AQ, 55, 66, 99, AA, KK, QQ。因此有63种可能的组合。CO会用暗三条和高对在转牌圈全押(例如55, 66, 99, KK, QQ, AA). 共有21种可能的组合。因此弃牌率是1-21/63 = 67%。
如果我们把56s和Q9加入到他的下注和全押范围，那么他会在转牌圈下注的可能的组合数是63+3+9 =75，在转牌圈全押的组合数是21 + 9 + 3 = 33。因此弃牌率为1-33/75 = 56%，这个半诈唬还是会得到+EV。对Hero不利的是，没有把CO更多可能的牌考虑进去，例如他可能使用下注/弃牌这一下注方式游戏的TT, JJ, 9X或较弱的听牌(尽管在对这些牌时Hero会通过对手的弃牌直接获利)。
下面这个例子会有一些变化:
SH, 100BB 筹码
翻牌前: Hero在BU位置持有 T, 9
MP加注到4BB, CO弃牌, Hero跟注4B, 2人弃牌
翻牌圈: (9.5 BB) 8, Q, 3 (2 players)
MP下注6BB, Hero跟注6BB
转牌圈: (21.5 BB) 7 (2 players)
MP下注13BB, Hero加注到38BB
和之前所提到的一样，Hero可以有完全不同的打法，但是他没有这么做。我们将分析这个在转牌圈的半诈唬。在这个例子中情况发生了一些变化: Hero对对手的全押范围的赢率只有18%，但他需要25%的赢率来跟注MP的全押。这次行动的EV很大程度取决于MP在转牌圈跟注和再加注的频率。
为了简便，我们假设当MP在转牌圈只是跟注时，他就不可能在河牌圈弃牌(他有大约50BB投在了100BB的底池内)，EV变成了弃牌率和全押概率的函数:
EV = pFold*34.5BB + (1–pFold)*[-p(Push)*38+(1-p(Push))*(0.18*111.5–0.82*38)]BB
如果Hero未击中想要的牌，他仅会损失38BB，但当他击中时，他会赢得整个底池加上MP剩下的筹码。EV=0时，弃牌率和全押概率之间的关系如下图:
下面是几个典型的值:
- pFold(p(Push)=1)=52%
- pFold(p(Push)=0.5)=42%
- pFold(p(Push)=0)=24%
很明显，如果你的对手不会全押任何他还想继续游戏的牌，那么你需要他在四次中弃牌一次。如果他总是全押，你的牌的EV和其他牌一样，那么你需要他每两次就弃牌一次。
这里的问题是，你的对手会使用下注/弃牌的下注方式的频率是多少，下注/跟注的频率是多少，下注/三次下注的次数又是多少。如果在这种情况中Hero对对手没有有利的位置，这甚至会是一个优势:你的对手更不可能全押了，因为他不需要保护自己的牌，并会在河牌圈把他所有的钱投入底池。
我们将会继续使用数值而不是范围。任何对这些内容感兴趣的人都应该自己反复考虑可能的范围来决定是否采用某一行动。
持续性诈唬
有一个重要的概念，可以用数学的方式表达:当一手牌向某一方向发展时，如果一个下注本身是有盈利性的，那么导致这个下注的所有行动都是+EV的。
因此，在翻牌圈的持续下注可以是-EV的，只要它能够使转牌圈的下注有利可图。我们可以在下面的EV公式中表现出来:如果你的下注让足够多的值变成了正的，那么所有的EV都会变成正的，无论你的牌是怎样的。
所谓的bluff outs(也就是利用公共牌面诈唬)是一个重要的因素。尽管没有被明确提及，但它们已经存在于例2中了.转牌圈的9可能使一个两端顺子听牌成型。Hero并没有两端顺子听牌，但是转牌圈的9提供的弃牌率比2这样的牌更高。下面是一个例子:
SH, Hero 持有 100BB
翻牌前: Hero在UTG位置持有XY
Hero加注到4BB, 2人弃牌, BU跟注4BB, 2人弃牌
翻牌圈: (9.5 BB) 5, 3
, 5 (2 players)
Hero 下注6BB, CO跟注6BB
在EV = 0时，要求的弃牌率是39%。这次分析不考虑Hero的牌。根据对手的翻牌前跟注范围和诈唬的频率，想要39%的弃牌率是不现实的，因此这个下注本身是-EV的。游戏继续:
转牌圈: (21.5 BB) X (2 players)
Hero下注14BB, CO跟注14BB
河牌圈: (49.5 BB) X (2 players)
Hero下注28BB
相对于底池来说，河牌圈的下注比翻牌圈的下注变小了。Hero需要36%的弃牌率。问题是:Hero可以认为这是一个现实的值吗？
答案取决于对手的行为习惯。很据CO的牌的强度不同，我们可以检验一些事件的可能性:
假设他在翻牌前只用TT+的牌三次下注，他可以有明三条，葫芦或99这样的两对。即使他有99，也就是他在翻牌圈的最强牌，也会非常不幸的在河牌圈成为抓诈牌。除了抓诈唬，他没有别的理由去跟注三次持续下注。
CO在这个例子中的范围会在22-99之内。他持有强牌的概率是多少？有一种可能的55，和三种33的组合可能。有6*6 = 36种可能的组合形成简单的两对。在翻牌圈他只有十分之一的可能持有那种可以在河牌圈跟注或加注的强牌。如果没有得到转牌圈和河牌圈的帮助，他的牌有十分之九的可能在河牌圈成为抓诈牌。
联系现实情况来看，这个翻牌很难被击中，因此对手有强牌的可能性很小。而Hero可以有很广的范围(他也可能是用TT+做价值下注)。
很明显CO的范围在河牌圈会变得更小，但是仍然有一些玩家面对他们第三次持续下注有利可图的(虽然如果玩任意两张牌的话，它也不能达到平衡的目的)。下面的两点是关键:
- 对手会在翻牌圈和转牌圈弃掉弱牌的几率是多少?
- 对手会在河牌圈扔掉抓诈牌的几率是多少?
我们应该看一下不同的牌在转牌圈和河牌圈出现的可能性。例如，如果出现了一张危险牌，只在转牌圈(和河牌圈)下注是比较明智的选择。我们可以很快地计算出概率。
如果危险牌是J+.那么出现这16张危险牌的概率就是16/49 = 0.32.
在河牌圈之前出现危险牌的概率是 16/49 + ( 1-16/49 ) * 16 / 48 = 0.55!
在单色牌面上可能发生类似的情况。这种方法的成功依赖于对手会很少有牌能对抗你的价值下注范围，或者是当你没有击中想要的牌时继续激进的概率(关键词: bluff-outs)。
G-Bucks
这个系列的最后一部分主要讲所谓的G-Bucks，也称为Galfond Bucks。据我所知这个术语的第一次出现是在Phil Galfond的一篇写于2007年的文章。这个术语讨论的是一种特别的分析方式，它基于一种非常特别的EV计算。
在摊牌出现的情况中，G-Bucks将对手的一些特殊的牌的EV和Hero的全部范围作比较。 Phil Galfond在文章中用稍微不同的计算得到了几乎一样的结论。唯一的问题是是否应该将Hero的范围中那些被对手阻断的牌考虑进去。
这种分析方式类似于著名的Slansky-Bucks，那是一种看EV而不看结果的分析方法。EV的偏差会在长期中消失，这种分析会避免那些偏差。在一些特别的牌中，这种分析结果的质量是有限的，因为它违反了扑克的一个基本概念:扑克玩家玩的是牌的范围，而不是个别的哪些牌。完美的分析应该比较参与玩家的范围和各自的范围的EV。
我们总是尝试把个别玩家的范围考虑在计算中。这导致了一个很大的问题:我们需要做假设。你只是能说"我认为他的范围是这样的" - 但是你从来不知道真正的范围是什么。
所以Phil Galfond在分析中排除了对手的牌的范围，创造了一种拥有完整信息的分析方法: 我们把自己的范围(这是我们知道的)和对手的牌(那些很明显的)作比较。G-Bucks就是用已知的范围应对已知的牌。下面是一个例子：
SH, Hero 持有 20BB
翻牌前: Hero在MP位置持有 A, K, UTG持有 7, 7
UTG加注到4BB, 弃牌 , Hero加注到20BB, 弃牌, UTG跟注16BB
为什么Hero只有20BB，为什么UTG会这么打，这些都是不重要的，这只是一个例子。Hero的结果很少会是+-0出去抽佣，在其他所有的情况中它会是+21.5BB或 -20BB。很显然，任何精确的分析都会让那个值处在两个极限之间。全押的EV是:
EV=-0.523 * 20BB + 0.477 * 21.5BB = -0.2BB
这手牌的发展趋势朝向了-EV。难道全押是错误的吗？作为一名扑克玩家，我的感觉告诉我可能并不是那样。为了计算G-Bucks，Hero需要给自己一个范围。应该是TT+, AQ+。对于这个范围，77只有37%的赢率。因此Hero的G-Bucks共为:
0.63*21.5BB – 0.37 * 20BB = 6.145BB
Hero做了一个+G-Bucks的行动。UTG对Hero的范围作出的行动的平均结果是0.37*25.5 – 0.62 * 16 = -0.645BB。
在对Hero的范围时他还是犯了一个小错误。如果Hero不跟注或只是很少地用AQ全押，他的错误会变得更糟糕。对于TT+, AQs+这一可能的范围，AK对Hero来说它的值是7.8BB，而UTG是-2.3BB。
G-Bucks分析可以将那些结果被Hero持有的极端范围严重影响的情况考虑进去。但是G-Bucks分析不能将下面这种情况考虑进去:
如果UTG持有AA这样的牌，那他很明显会赢得G-Bucks，Hero会因为他的超强牌而损失G-Bucks。不管怎样，对于理论分析来说这一结果都比简单的EV分析有用很多。特别是在考虑平衡下注时，G-Bucks表现的非常出色。
SH, 100BB 筹码
翻牌前: Hero在BB位置持有 Q, K, BU持有 A, T
BU加注到3BB, SB弃牌, Hero跟注2BB
翻牌圈: (6.5 BB) A, J, 5 (2 players)
Hero过牌, BU下注4.5BB, Hero加注到15BB, BU跟注10.5BB
转牌圈: (36.5 BB) 3 (2 players)
Hero过牌, BU过牌
河牌圈: (36.5 BB) 8 (2 players)
Hero下注29BB, BU跟注29BB
我们来分析一下这个河牌圈的下注。Hero可以用完全不同的打法玩这手牌，但是他在这个例子中下注方式也是可行的。问题就是Hero是否在河牌圈做了一个有意义的诈唬。答案取决于Hero的范围，他会这样玩翻牌前，翻牌圈，转牌圈和河牌圈的范围。
我们来看看两种情况:
- a) Hero会玩所有带大同花牌的内听顺子(9种组合)和同花听型牌(7
8, 89, T9, QT, KQ, KT =6种组合)。 - b) Hero玩50%的内听顺子(4.5种组合)和所有同花听型牌(6种组合)。另外他会在33%的时候玩55, AJ和0.5种组合的A5s (由于翻牌前的行动产生折扣)。共1+3+0.5种组合。
在情况 a)中，BU会输给6手牌，战胜9手牌。因为他跟注了29BB在一个36.5BB的底池中，因此结果是:
9/15*(36.5+29)BB – 6/15*29BB = 27.7BB
BU赢得了很多G-Bucks，在任何一种分析方法中，他在河牌圈的跟注都不会是错误的。如果Hero决定用所有的内听顺子诈唬，那他的同花听型牌就很难做到有盈利性的诈唬。Hero本身赢得的G-Bucks是由于他在底池中的死钱(8.8BB, 远少于BU)。BU在这里几乎有100%的风险-回报比。
在情况 b)中事情发生了变化。在Hero玩的15种组合中，BU只能战胜4.5手牌而不再是9手。因此BU的G-Bucks是:
4.5/15*(36.5+29)BB – 10.5/15*29BB = -0.65BB
在这种情况中BU得到的是负的G-Bucks，在面临着更困难的决定。如你所见，G-Bucks在考虑自己的平衡时非常有用。
关于G-Bucks还有一点。就是考虑潜在或反向潜在成败比。如果你很可能在接下来的街中损失大量筹码，例如你在不利位置拿着一手很难打的牌，或面对一个有巨大潜在成败比的优秀对手时，放弃一手潜在的好牌是正确的决定，即使它有可能在一条街中赢得G-Bucks。
反之，如果你在有利位置拿着一手好牌，或者你的对手很糟糕，再或者潜在成败比比反向潜在成败比大很多时，关于G-Bucks的打法就是非常有利可图的。
结论
这是"无限注德州扑克中的数学概念"这一系列的最后一部分。在这个系列中，我们学到了一些数学基础和一些关于无限注德州扑克的计算。也看到了很多不同情况中的例子以及它们详细的计算。
我希望这些文章能让一些人产生对分析的兴趣。在很多情况中，你都可以用文中提到的数学知识让自己的扑克打得更好。
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