Conceptos matemáticos del No Limit Hold'em (4): equity de los faroles y G-Bucks
Introducción
En este artículo
- La equity de una 5-bet
- Equity de los faroles
- Análisis de los G-Bucks
Tras haber estudiado los faroles, en la cuarta y última parte de esta serie te presentamos ejemplos de aplicaciones especiales y una forma alternativa de análisis: los G-Bucks.
Análisis de las 5-bet
En el artículo anterior uno de los temas eran las 4-bet de farol preflop. Has aprendido con qué manos deberías hacer 4-bet-call y con cuales 4-bet-fold. Las parejas de mano tenían un papel especial en este análisis debido a su equity relativamente alta.
En este artículo discutiremos las 5-bet de farol como una posible forma de contrarrestar las 4-bet. Debe quedar claro que siempre hablamos de un semifarol, jamás de un farol puro.
No podrás hacer una 5-bet y después estar en situación de abandonar con un stack de más o menos 100BB. Por lo tanto tu equity volverá a tener un papel importante. Una aproximación ilustrará esto: en los heads-up con frecuencia se dan 3-bet de 12BB y 4-bet de 28BB. ¿Cuánta fold-equity tiene que crear el que hace el all-in 3-bet para tener un EV neutral con un 35% de equity?
EV = 0 = pFold*(12+28)BB + (1-pFold)*(0,35*112-0,65*88)BB
0 = pFold*40BB - (1-pFold)*18BB
pFold = ~0,3
En este escenario en particular el que hace la 4-bet necesita abandonar en tan solo uno de cada tres casos para que un refarol sea rentable. Aquí tienes un pequeño resumen de las equity preflop, y más adelante volveremos a hablar de ellas
| vs. | QQ+, AK | TT+, AQ+ | 88+, AJ+, KQ | 22+, AQ+ |
| 55 | 0,36 | 0,37 | 0,39 | 0,4 |
| 56s | 0,31 | 0,32 | 0,33 | 0,33 |
| A2s | 0,28 | 0,3 | 0,35 | 0,32 |
| AQo | 0,24 | 0,34 | 0,47 | 0,4 |
| % Rango | 2,6 | 4,7 | 8 | 8,3 |
Las parejas bajas tienen, obviamente, una buena equity, incluso contra los rangos tight. Esto ya lo sabíamos. Es más, una mano fuerte como AQ ofrece poco más contra rangos algo más loose. Llegados a este punto no discutiremos el efecto retirada de carta: AQs tiene alrededor de un 35% de equity contra rangos TT+, AQ+, parecida a la de la pareja baja de mano.
El efecto retirada de carta hace que AQs sea un push preferible al 55, porque con AQs el "rango TT+, AQ+" se vuelve un 30% menos probable si lo comparamos con un 55, como ya mostramos en el artículo anterior. Esto se aplica de forma similar a A2s. Sin embargo, en el caso del A2s el efecto retirada de carta es menos significativo. Por lo tanto A2s tiene una equity mucho más baja comparada con las parejas de mano, así que las hace unas candidatas más adecuadas.
Tampoco hemos tenido en cuenta distintas clases de rangos de all-in:
Si un jugador va all-in preflop con muchas parejas de mano pero no con muchas broadway, recurrir a las parejas más fuertes es una buena idea. La razón es sencilla: mientras no quieras ver la pareja contra una 4-bet, pero quieras hacer 5-bet con ella, las parejas bajas y altas tienen más o menos la misma equity contra un rango que no incluya parejas de mano más bajas que la tuya (22 vs TT+, AQ+: 36% de equity; 99 contra el mismo rango 37% de equity).
Incluso si su rango incluye solo algunas parejas más bajas, la equity aumenta de forma significativa (22 vs. 88+, AQ+: 36% de equity, 99 contra el mismo rango: 41% de equity).
SH, 100BB Stacks
Pre-flop: Hero is BU with XY
CO raises 3.5BB, Hero raises 11BB, 2 folds, CO raises 28BB, Hero is All-In
Más o menos la situación que hemos usado antes. El EV del Héroe se puede calcular dependiendo de su equity además de la fold equity determinada de un all-in:
EV = pFold*40,5BB + (1-pFold)*(Equity*112,5-(1–Equity)*89)BB
Si haces que EV = 0, como suele hacerse en estos análisis, podrás resolver la ecuación para pFold. pFold es una función del stack (fijo) y tamaños de las subidas, además de la equity, que puede ilustrarse con un gráfico.
pFold = (112,5*Equity-89*(1–Equity)) / (112,5*Equity-40,5–89*(1-Equity))
Para el rango relevante de equity (del 25% al 45%), la función es la siguiente:
Evaluar una equity de más del 45% es inútil, porque la fold equity negativa no es un resultado real. La zona menor del 25% de equity tampoco es relevante, ya que en la mayoría de los casos tendrás más que eso. Algunos valores exactos son:
- pFold ( 25% Equity ) = 0,48
- pFold ( 30% Equity ) = 0,41
- pFold ( 35% Equity ) = 0,31
- pFold ( 40% Equity ) = 0,17
Como era de esperar, la fold equity necesaria varía según tu equity. En esta situación necesitas una probabilidad de fold del 32% al 25% con un semifarol.
También es posible determinar la influencia del tamaño del stack de los jugadores relevantes en el EV. Todo lo que necesitas hacer es modificar este término de la fórmula:
Equity * 112,5BB - ( 1 – Equity ) * 89BB
Una vez más, podemos crear funciones que pueden mostrarse gráficamente. Estos son algunos ejemplos:
De abajo a arriba los tamaños de stack efectivos son 90, 100, 110, 120 y 130. Bajo el valor representativo de la fold equity necesaria se da una equity del 35% para cada tamaño de stack:
- pFold(35% Equity, 90BB Stacks) = 27%
- pFold(35% Equity, 100BB Stacks) = 31%
- pFold(35% Equity, 110BB Stacks) = 34%
- pFold(35% Equity, 120BB Stacks) = 37%
- pFold(35% Equity, 130BB Stacks) = 40%
Desde el principio era obvio que la fold equity necesaria aumenta con el tamaño del stack. Pero en nuestra opinión el aumento es menor de lo que la mayor parte de la gente piensa que es necesario para ir all-in con 130BB. A menudo los jugadores van all-in más de 1,48 veces más con 130BB que con 90BB. Esta tasa (27/40) determina exactamente la rentabilidad del farol.
Al mismo tiempo también es verdad que muchos jugadores hacen más 4-bet de farol con 130BB que con 100BB porque esperan que tu rango sea mucho más tight, así que se dan más fold equity. Esta es una situación en la que el concepto que hemos descubierto a través de las matemáticas puede usarse directamente en las mesas. Si quieres farolear preflop con una 5-bet y 130BB, depende de ti.
Por último queremos comentar la influencia de las posibles subidas preflop de distintos tamaños. Esperamos que lo siguiente sea cierto: cuanto menor sea la 4-bet, mayor será la fold equity (con una equity constante). Eso es exactamente lo que observamos:
De arriba a abajo:
2,5BB → 8BB → 20 BB;
3,5BB → 11BB → 28BB;
4BB → 14BB → 32BB
Una vez más el valor de ejemplo de la Equity es el 35%.
Apertura de 2,5BB → pfold = 42%
Apertura de 3,5BB → pfold = 31%
Apertura de 4BB → pfold = 24%
Como puedes ver, los tamaños de las subidas tienen un gran impacto. Otra forma de variar tu juego es prestar mucha atención a las estadísticas de 4-bet/fold de jugadores para subidas de tamaños diferentes.
Algunos jugadores no se darán cuenta de este hecho ya que la 4-bet de 32BB no es particularmente grande. Al mismo tiempo deberías ser consciente de esta circunstancia. Pero lo que sí significa es que solo tienes que cambiar tu juego contra oponentes que también sean conscientes de este hecho. Contra oponentes malos, que no se darán cuenta, no tendrás que cambiar nada.
Farol vs. 2nd Barrel
Probablemente ya conocerás el principio del second barrel: a menudo significa jugar un farol de forma agresiva, dos veces. Como el término nace de una segunda apuesta de continuación en el turn, a menudo se la llama second barrel sin importar la mano del agresor. Muchas veces la mano se va a jugar como bet-fold. Un posible aumento de la frecuencia de esta línea en particular es la base del análisis de la siguiente situación:
SH, 100BB Stacks
Pre-flop: Hero is BU with A
, T, CO has K
, Q
CO raises 4BB, Hero calls 4BB , 2 folds
Flop: (9.5 BB) 6, Q, 5 (2 players)
CO bets 8BB, Hero calls 8BB
Turn: (25.5 BB) 9 (2 players)
CO bets 17BB, Hero raises 50BB
Está claro que el Héroe puede jugar esta mano de otras formas. Una subida en el flop es posible, al igual que ver en el turn o una 3-bet preflop. Pero no examinaremos esas líneas, nos vamos a centrar en la subida del Héroe en el turn. En este caso en particular hay que dejar algo claro: esta línea solo tiene sentido como farol o semifarol, si el Héroe jugaría una mano hecha de la misma forma.
De lo contrario, su mano se polarizaría hacia los faroles tanto que le pagarían sin problemas con manos con las que querría echar a otros de la mano. Pero si este es el caso, entonces tiene sentido analizar este semifarol poco convencional.
Al igual que para cualquier semifarol el EV es el siguiente:
EV = pFold * 42,5BB + ( 1 – pFold ) * ( 0,2 * 113,5 BB – 0,8 * 88BB )
Asumiendo una equity de alrededor del 20% contra un rango con el que el CO hará all-in en el turn, el Héroe no puede abandonar aquí contra un push porque el EV es el adecuado. Resolviendo la ecuación para pfold con EV = 0 obtenemos una fold equity mínima del 53%. ¿Se puede conseguir con nuestro ejemplo?
Hay que volver a recordar que esto solo es un ejemplo. El objetivo de este artículo no es usar la lectura de mano perfecta, sino explicar la naturaleza de éste y otros análisis similares. Hemos fijado un rango de apuestas y all-in determinado para aproximar un valor de pFold. Si quieres escoger rangos distintos, eres totalmente libre de hacerlo. Puedes usar un rango distinto para calcular una probabilidad de fold diferente.
Un posible rango sería el siguiente: CO apostaría en el turn con top pair+, es decir QT, QJ, KQ, AQ, 55, 66, 99, AA, KK y QQ. En total son 63 combinaciones posibles. CO iría all-in en el turn con sets y overpairs, es decir 55, 66, 99, KK, QQ y AA, 21 combinaciones. Por lo tanto la probabilidad de abandonar sería 1-21/63 = 67%.
Si añadiéramos 56s y Q9 a sus rangos de apuesta y all-in, tendríamos 63 + 3 +9 = 75 combinaciones para una apuesta en el turn y 21 + 9 + 3 = 33 para el all-in. Incluso aquí el semifarol sería levemente +EV con una fold equity de 1-33/75 = 56%. Para desventaja del Héroe no tendremos en cuenta otras manos posibles con las que CO podría hacer bet-fold como TT, JJ, 9X o proyectos más débiles (a pesar de superar a estas manos, el Héroe no se beneficiaría cuando abandonen).
Otro ejemplo con una variante:
SH, 100BB Stacks
Pre-flop: Hero is BU with T, 9
MP raises 4BB, CO folds, Hero calls 4B, 2 folds
Flop: (9.5 BB) 8, Q, 3 (2 players)
MP bets 6BB, Hero calls 6BB
Turn: (21.5 BB) 7 (2 players)
MP bets 13BB, Hero raises 38BB
Como ya mencionamos antes, el Héroe podría jugar de una forma completamente distinta, pero no lo va a hacer. Vamos a analizar el semifarol en el turn. Pero las circunstancias en este caso son distintas: la equity del Héroe contra un rango de all-in sería solo del 28%, pero necesita un 25% para ver contra un push de MP. El EV de este movimiento depende en gran parte de la frecuencia con la que MP se limitará a ver en el turn y con la que resube.
Para simplificar asumiremos que MP nunca abandonará en el river cuando solo ve en el turn (tiene alrededor de 50BB en un bote de 100BB). El EV se convierte en una función de la probabilidad de abandono y la del all-in:
EV = pFold*34,5BB + (1–pFold)*[-p(Push)*38+(1-p(Push))*(0,18*111,5–0,82*38)]BB
En caso de fallar, el Héroe solo perderá 38BB, pero si liga se llevará todo el bote más el stack restante de MP. Para EV = 0 la relación entre probabilidad de fold y all-in puede ilustrarse de la siguiente forma:
Aquí los valores característicos son:
- pFold(p(Push)=1)=52%
- pFold(p(Push)=0,5)=42%
- pFold(p(Push)=0)=24%
Esto obviamente significa que si tu oponente nunca hace push con alguna de las manos con las que quiere seguir jugando, tú solo necesitarás que abandone en uno de cada cuatro casos. Si él siempre va all-in, el EV de tu mano es el mismo del de cualquier otra mano y necesitarías que abandonase el 50% del tiempo.
Aquí las preguntas son la frecuencia con la que tu oponente jugará bet/fold, cuán a menudo haría bet/call y cuándo se plantea una línea bet/3-bet. Si el Héroe no tiene posición sobre su oponente en una situación similar puede ser hasta positivo: es aún más improbable que tu oponente vaya all-in porque supuestamente no necesita proteger su mano y sin duda sería capaz de jugarse todo su dinero en el river.
Vamos a seguir usando valores numéricos en lugar de un rango. Cualquier interesado en este tema debería jugar con los posibles rangos para decidir si el movimiento debería usarse en una jugada o no.
Faroles continuados
Otro concepto importante que podemos expresar matemáticamente es el siguiente: si una mano se desarrolla de tal forma que una apuesta es rentable por sí misma, todas las acciones que conducen a la apuesta también serán +EV.
Por lo tanto una apuesta de continuación en el flop puede tener un EV negativo por sí misma mientras conduzca a oportunidades para apostar de forma rentable en el flop con la frecuencia suficiente. La razón es, simplemente, que los valores individuales en las diferenciaciones en la fórmula del EV: si una cantidad suficiente de los valores (o todos) se vuelven positivos como resultado de tu apuesta, entonces el EV total será positivo, sin importar tu mano.
Las llamadas "outs de farol" son un factor importante. Ya existían en el ejemplo tres, a pesar de no haberlas nombrado de forma explícita. El 9 en el turn podría haber completado un OESD. El Héroe no lleva el OESD, pero la fold equity del turn debería ser algo más alta para un 9 que para por ejemplo un 2. Vamos a verlo con un ejemplo:
SH, Hero with 100BB
Pre-flop: Hero is UTG with XY
Hero raises 4BB, 2 folds, BU calls 4B, 2 folds
Flop: (9.5 BB) 5, 3
, 5 (2 players)
Hero bets 6BB, CO calls 6BB
Para una apuesta con EV = 0 la fold equity necesaria es del 39%. La mano del héroe no juega papel alguno en este análisis. Dependiendo del rango de ver preflop del Villano, y la parte del mismo con la que farolea, una fold equity del 39% puede no ser realista y por lo tanto ser -EV. Pero la partida continúa:
Turn: (21.5 BB) X (2 players)
Hero bets 14BB, CO calls 14BB
River: (49.5 BB) X (2 players)
Hero bets 28BB
En relación al bote la apuesta en el river es algo más pequeña que la del flop. El Héroe necesita una fold equity del 36%. La pregunta es: ¿puede esperar que sea un valor realista?
La respuesta a dicha pregunta depende en gran parte del comportamiento del rival. Aún así vale la pena examinar las probabilidades para manos del CO de distinta fuerza:
Asumiendo que hará 3-bet con TT+ preflop, puede tener tríos/full o 9s en adelante. Incluso 99, su mano más fuerte en el flop, acabará siendo una cazadora de faroles en el river. Excepto por un hero call, no tiene razón alguna para pagar tres barrels.
El rango de ejemplo de CO aquí será 22-99. ¿Cuán a menudo tendrá una mano fuerte? Hay una combinación posible de 55 y tres de 33. Contra esto hay 6*6 = 36 posibles combinaciones de unas dobles parejas. Solo en uno de cada diez casos no llevará una mano en el flop sin la fuerza necesaria para hacer call/raise en el river. Las otras nueve tendrá una mano en el flop que será una cazadora de faroles en el river si ni el turn ni el river lo ayudan.
Esto está muy relacionado con el hecho de que es muy difícil ligar en ese flop y es bastante improbable que el Villano tenga una mano fuerte. El Héroe, por el otro lado, puede representar un rango mucho más amplio (podría estar apostando por valor con TT+).
Obviamente el rango del CO se irá reduciendo a medida que se acerca el river, pero hay algunos jugadores contra los que un tercer barrel es rentable (aunque no se pueden equilibrar si se juegan con dos cartas cualesquiera). Las claves son:
- La frecuencia con la que el Villano abandona manos débiles en el flop y el turn.
- Las veces que hará un hero call en el river.
En relación con esto vale la pena ver las probabilidades de las distintas cartas en el turn y el river. Por ejemplo, sería aconsejable apostar solo en el turn (y el river) en el caso de que aparezca una carta aterradora. La probabilidad puede calcularse rápidamente.
Digamos que las cartas aterradoras son J+, la probabilidad de ligar una de las 16 cartas que queremos ver es 16/49 = 0,32.
La probabilidad de ligar una de las cartas aterradoras en el river es 16/49 + ( 1-16/49) * 16/48 = ¡0,55!
Se puede construir un escenario similar con una mesa monocroma. La situación dependería del hecho de que tu oponente rara vez tendrá una mano con la que aguantar contra tu rango de apuestas por valor o la posibilidad de jugar cartas, con las que no has ligado, de forma agresiva (palabra clave: outs de farol).
G-Bucks
La última parte de esta serie de artículos está dedicada a los denominados G-Bucks o Galfond Bucks. Por lo que sé, el término lo usó por primera vez Phil Galfond en la revista Bluff en abril del 2007, cuando acuñó el término. Estamos hablando sobre una forma especial de análisis basada en los cálculos de un EV muy particular.
En el showdown los G-Buck se fijan en el EV de una mano particular del oponente comparada con el rango completo del Héroe. Phil Galfond utiliza en su artículo unos cálculos algo distintos, pero llega a una conclusión casi igual. La única pregunta es si las combinaciones del rango del Héroe, que están bloqueadas por la mano del rival, deberían tenerse en cuenta de forma explícita.
Esta clase de análisis es similar a los famosos Slansky-Bucks que siempre se centran en el EV y no en el resultado. Como a la larga las desviaciones del EV desaparecen, este análisis está libre de dichas desviaciones. Sin embargo en una mano en particular la calidad del resultado queda limitado porque un concepto básico del poker es pasado por alto: los jugadores juegan rangos de manos, no manos individuales. El análisis perfecto compararía el EV de los rangos involucrados contra el rango de cada uno de los demás.
Hemos trabajado en esa dirección cuando hemos intentado darles a los jugadores rangos de manos individuales en nuestros cálculos. Esto conduce a un gran problema: asumimos cosas. En cualquier situación solo puedes decir "Creo que su rango es éste", pero nunca se sabe con seguridad.
Por eso Phil Galfond eliminó el rango de mano del rival del análisis y creó una forma de análisis con información completa: miramos nuestro propio rango (el cual ya sabemos) comparado con la mano del oponente (la que es obvio que lleva). Los G-Bucks son el EV del rango conocido contra la mano conocida. Un ejemplo de ello:
SH, Hero with 20BB
Pre-flop: Hero is MP with A, K, UTG with 7, 7
UTG raises 4BB, folds, Hero raises 20BB, folds, UTG calls 16BB
Da igual la razón por la que el Héroe tiene 20BB o por qué UTG juega como lo hace, esto solo es un ejemplo. El resultado para el Héroe rara vez será +-0 menos el rake. En todos los demás casos será +21,5BB o -20BB. Está claro que cualquier análisis exacto dará un resultado entre ambos extremos. El EV de los all-in es:
EV=-0,523 * 20BB + 0,477 * 21,5BB = -0,2BB
La tendencia de la jugada es realmente de +-0 o puede que incluso un poco negativa. ¿Hace eso que ir all-in sea un error? Mi instinto de jugador de poker me dice que probablemente no. Para calcular los G-Bucks del Héroe necesitamos darle un rango. Debería ser TT+, AQ+. Contra esto, 77 solo tiene una equity del 37%. Por lo tanto los G-Bucks del Héroe son:
0,63*21,5BB – 0,37 * 20BB = 6,145BB
El Héroe hace una jugada +G-Bucks. El resultado medio de UTG contra el rango del Héroe también puede definirse como 0,37*25,5 – 0,62 * 16 = -0,645BB.
Sigue cometiendo un pequeño error contra el rango del Héroe. Si el Héroe no paga o rara vez va all-in con AQ, su error se volverá mucho peor. Para un rango posible de TT+, AQs+, AK para el Héroe, su valor sería 7,8BB comparado con las -2,3BB del UTG.
El análisis G-Bucks tiene en cuenta los casos en los que el resultado depende en gran parte del Héroe teniendo un extremo de su rango de manos. Sin embargo lo que no puede tener en cuenta es lo siguiente:
Si UTG tiene una mano como AA, obviamente ganará G-Bucks, gracias a su mano extremadamente fuerte y el Héroe los perderá. De todas formas el resultado suele ser mucho más útil para un análisis teórico que el simple EV de dos manos enfrentadas. Cuando se trata de equilibrar, los G-Bucks hacen un buen trabajo.
SH, 100BB Stacks
Pre-flop: Hero is BB with Q, K, BU with A, T
BU raises 3BB, SB folds, Hero calls 2BB
Flop: (6,5 BB) A, J, 5 (2 players)
Hero checks, BU bets 4.5BB, Hero raises 15BB, BU calls 10.5BB
Turn: (36.5 BB) 3 (2 players)
Hero checks, BU checks
River: (36.5 BB) 8 (2 players)
Hero bets 29BB, BU calls 29BB
Queremos analizar la apuesta en el river. El Héroe podría haber jugado cada calle de otra forma, pero su línea no es absurda. La pregunta es si el Héroe hace un farol con algo de lógica en el river. La respuesta depende del rango con el que jugaría así preflop, en el flop y el turn y el river.
Examinaremos dos escenarios:
- a) El Héroe juega todas los gutshots con broadways del mismo palo (9 combinaciones) y todos sus proyectos de color (7
8, 89, T9, QT, KQ, KT = 6 combinaciones) de esta forma. - b) El Héroe juega el 50% de sus gutshots (4,5 combinaciones y todos sus proyectos de color (6 combinaciones) de esta forma. Además el 33% de las veces jugará 55, AJ y 0,5 combinaciones A5s (descontada por la acción preflop) de la misma forma (1 + 3 + 0,5 combinaciones).
En el caso a) BU es superado por 6 manos y gana a 9. Como paga 29BB en un bote de 36,5BB para llegar al showdown el resultado es:
9/15*(36,5+29)BB – 6/15*29BB = 27,7BB
BU gana un montón de G-Bucks y no comete error alguno en cualquier análisis cuando paga en el river. El Héroe no tiene un proyecto de color con la frecuencia suficiente como para farolear le sea rentable si decide farolear con todas sus gutshots. El propio Héroe gana G-Bucks por el dinero muerto del bote (8,8BB, mucho menos que el BU). El objetivo debería ser que el BU lo tuviera complicado para decidirse (aquí tiene una tasa de riesgo-recompensa de casi el 100%).
En el caso b) las cosas cambian. El Héroe ha jugado un total de 15 combinaciones y el BU solo gana a 4,5, no 9. Por lo tanto sus G-Bucks son:
4,5/15*(36,5+29)BB – 10,5/15*29BB = -0,65BB
En esta situación el BU tiene unos G-Bucks levemente negativos al ver y una decisión mucho más difícil contra el rango del Héroe. Como puedes ver, los G-Bucks son particularmente útiles para examinar tu propio equilibrio.
Una última cosa sobre los G-Bucks. Lo que no pueden hacer en esta forma sencilla es tener en cuenta las odds implícitas o inversas implícitas. Puede que abandonar la que posiblemente sea la mejor mano sea la decisión correcta, a pesar de la posibilidad de ganar G-Bucks en una calle, si puedes llegar a perder mucho en las calles siguientes (sin posición con una mano difícil de jugar o contra un oponente muy fuerte con grandes odds implícitas).
De la misma forma jugar contra los G-Bucks en una calle puede ser rentable. Por ejemplo, si tu rival es malo, tu posición buena y tu mano es fácil de jugar o las odds implícitas son mucho mayores que las posibles odds implícitas inversas.
Conclusión
Éste ha sido el último capítulo de la última parte de la serie "Conceptos matemáticos del NL Hold'em". En tres partes, junto a las bases matemáticas has aprendido algunos cálculos relacionados con el No Limit Hold'em. Has visto varios ejemplos en distintos escenarios y cómo se calculaban todos los detalles.
Espero que todo esto os motive a algunos a hacer vuestros propios análisis o al menos pensar sobre los resultados de este artículo. Hay muchas situaciones en las que las sencillas matemáticas de este artículo pueden conducir a resultados interesantes que podrán mejorar directamente vuestro juego.
