Leques de Mãos de Nash para a jogada Push-ou-Fold

Introdução

Neste artigo

• Será que o push-ou-fold vai de encontro aos ideais de Nash?
  
• Pode um push ou um call, de acordo com Nash, ser -EV?
• Quando e como deves adaptar o teu jogo
• Dependerão estas adaptações do tamanho do efeito do ICM (factor bolha)?
  

Se queres ter sucesso em Sit & Go's é vital que tenhas um bom jogo heads-up. Visto que geralmente as blinds estarão muito altas na altura que atingires o HU, vais dar por ti muitas vezes em situações em que as tuas opções se resumem ao pré-flop, onde farás fold ou push - isto é conhecido pela jogada push-ou-fold.

Os chamados leques de mãos de Nash ("NRs" do inglês "Nash ranges") desempenham um papel importante neste contexto. Uma vez que geralmente estarás contra um fish no heads-up, fish esse que construiu a sua stack através de movimentos malucos, precisas de ter cuidado no uso dos NRs no teu jogo.

Este artigo é um complemento e extensão aos artigos SAGE – Sit And Go Endgame System e Push ou fold em heads-up.

Não é necessário que os tenhas lido para entender este artigo. O chamado "SAGE" é baseado no equilíbrio de Nash; O que o SAGE faz é simplificar as coisas de forma a serem mais fáceis de memorizar. Contudo, isto também faz com que o sistema seja mais rígido.

Princípios-base

Primeiro de tudo, precisamos de clarificar alguma terminologia:

A stack efectiva (ES) é um importante parâmetro na análise das situações P/F quando nos encontramos em heads-up. Refere-se ao tamanho da mais pequena das duas stacks antes das blinds (e antes) serem colocadas e é medida em BBs. Logo, a ES é sempre a mesma para ambos os jogadores.

O nível das blinds (BL) é de 500/1.000; depois de pagares a SB, ficas ainda com 5.500 fichas, o teu oponente na BB tem 8.000 fichas. Nesta situação, ES = 6.

Quando em poker falamos em range, referimo-nos a uma certa selecção de mãos. No que se refere a situações de push-ou-fold, os "x % ranges" são particularmente relevantes. Eles consistem nos mais fortes x % das 1326 possíveis mãos iniciais.

No entanto, esta definição não é assim tão linear uma vez que a força relativa de uma mão depende da situação específica em que é jogada, e isto é também válido para situações de push-ou-fold.

Se ES = 9, o range de call (CR) de 42,7% inclui as mãos 22+, Ax+, K2s+, K4o+, Q4s+, Q8o+, J7s+, J9o+, T8s+, T9o, 98s. O "+" significa que todas as mãos com um melhor kicker (ou maiores PPs) também estão incluídas no range. Uma mão como K4 é por isso parte do range, enquanto 78s não o é.

Compara isto com o range de push (PR) para ES = 16. Consiste nas mãos 22+, Ax+, K2s+, K7o+, Q5s+, Q9o+, J6s+, J9o+, T6s+, T9o, 96s+, 98o, 85s+, 75s+, 65s, 54s. Podes ver que as mãos K4, K5 e K6 não estão aqui incluídas, enquanto que 54s está.

O exemplo mostra que um range de 43% para um call com ES = 9 não é o mesmo que um range para push com ES = 16. É por isso que mostraremos sempre as mãos relevantes nos exemplos que se seguem. A variável em % e os ranges exactos são tirados da calculadora ICM que pode ser vista aqui: www.holdemresources.net.

Facilmente se compreenderá que o seguinte também se aplica:

Se adicionares uma mão aleatória a uma % de range, obterás uma nova % de range quando essa mão for a mão mais forte fora do range e vice-versa. Isto é, se retirares uma mão de uma % de range, obterás uma nova % de range quando essa mão for a mão mais fraca dentro do range.

Tu já encontraste o Independent Chip Model em artigos anteriores:

O Independent Chip Model (ICM) , Exemplos e explicações sobre ICM e ICM Avançado.

O heads-up é caracterizado pelo facto dos efeitos do ICM já não terem importância. É por isso que um HU num Sit & Go (bem como um HU num MTT) é basicamente a mesma coisa do que um HU num jogo cash, em que cada ficha vale:

[($ 1º lugar) - ($ 2º lugar)] / (Número total de fichas).

Por isso, decidir se deves ir all-in ou fazer call a um all-in em HU, depende basicamente dos seguintes parâmetros:

• A tua ES
• O range de call ou de push do teu adversário

À excepção do HU, existe sempre um certo nível de efeito do ICM em MTT's e Sit & Go's. Em Sit & Go's, este efeito tem tendência para ter o seu ponto alto na bolha e é por isso também conhecido e medido pelo factor bolha (ver O factor bolha nos diferentes tipos de SnG's ).

Nash em HU

A maior parte da teoria e exemplos nesta secção são baseados num jogo heads-up de um Sit & Go de 9 ou 10 jogadores, com ES <=20 e sem antes. No entanto, as mesmas conclusões poderão, de uma forma geral, ser aplicadas ao HU num MTT ou à guerra de blinds num cash game. Todos os resultados e exemplos nesta secção são calculados com uma margem de (futuro jogo) 0%. Em muitos casos iremos arredondar as percentagens para números inteiros. Por exemplo, 42,7% passará a ser 43%.

O valor esperado (conhecido por EV) refere-se ao resultado em média numa experiência aleatória. Para a fase push-ou-fold numa situação de heads-up, o EV tendo em conta o parâmetro "fichas antes da acção menos número de fichas em média depois da acção (em BB's)" é relevante.

Iremos agora ver a diferença entre o EV do range (REV) de um push (ou call) e o EV da mão de um push (ou call) com uma mão específica. Ambos dependem das blinds e do range de call do teu oponente (ou range de push).

Tu estás na BB com ES=9, o range de call do teu oponente é de 42,7% (22+, Ax+, K2s+, K4o+, Q4s+, Q8o+, J7s+, J9o+, T8s+, T9o, 98s):

• O teu push com T8 teria um HEV de cerca de 0.
• O teu push com A2 teria um HEV de cerca de 1 BB (ver cálculos em anexo).
• O teu push com um range de 58,7% (22+, Kx+, Q2s+, Q5o+, J2s+, J8o+, T5s+, T8o+, 95s+, 97o+, 85s+, 87o, 74s+, 64s+, 53s+) teria um REV de cerca de 0,5 BB (fica a saber mais na próxima secção).

No geral, o REV é calculado da seguinte forma:

(1) REV (Range) = Somatório {mão do range} HEV (mão) * P (mão)

P (mão) refere-se à probabilidade de receberes esta mão.

No exemplo acima, A2 é assim uma mão acima da média no range de push porque o seu HEV é maior do que o seu REV.

Uma conclusão geral é que o REV aumenta se adicionares ao range uma mão com +HEV e diminui se adicionares ao range uma mão com -HEV. Uma mão com 0HEV não afecta o REV.

Se planeias alargar o teu range, o que faz mais sentido é que tu escolhas primeiro a mão mais forte de fora desse range. Esta mão terá o maior HEV e por isso aumenta o REV mais do que qualquer outra mão. Se até a mão mais forte de fora do range for -HEV, adicionar essa mesma mão irá pelo menos diminuir o REV menos do que qualquer outra mão o faria. Se optares por diminuir o range, deves da mesma forma, retirar primeiro as mãos mais fracas do range. Tal como indicado na secção de "ranges", é assim que novas % de ranges surgem de outras % de ranges.

Veremos agora como se define o equilíbrio de Nash. Contudo, a nossa definição será direccionada para a situação de push-ou-fold em heads-up.

Imagina que estás em HU com um ES de, por exemplo, 9 BB. Neste cenário tu fazes push com um range de x% e o teu oponente faz call a um push com y%. Logo, ambos terão um certo REV, que pode muito bem ser diferente.

O equilíbrio de Nash (também conhecido por ranges de Nash, NR) é constituído por ranges (x%, y%) para que nem tu nem o teu oponente possam aumentar o seu REV modificando o seu range enquanto o outro mantém o seu. x é assim denominado de range de push de Nash (NPR) e y de range de call de Nash (NCR), e dizemos que um jogador faz push (ou call) de acordo com Nash.

Considerando a teoria da secção anterior, concluímos que:

NRs contêm todos aqueles ranges que compreendem todas as mãos +HEV e nenhuma mão -HEV. Claro que um requisito necessário é que o oponente faça call de acordo com Nash (ou que ele faça push de acordo com Nash quando se trata de NCRs).

Isto faz com que sempre que o teu oponente se desviar do NR, o teu REV aumentará. Isto acontece porque o seu desvio do NR, significa que ele acrescenta uma mão -HEV ou que retira uma mão +HEV. Como isto baixa o seu REV, o teu REV aumenta.

Podes ler mais sobre REVs na secção "Os ranges EV dos ranges de Nash".

Falta apenas dizer que os NRs no modelo ICM estão basicamente apenas dependentes do ES. Portanto, tanto faz se estás a jogar contra uma stack de 10 BBs ou contra uma stack de 5 BBs.

É muito fácil calcular os NRs representados na secção anterior. Todos os ranges foram calculados com a calculadora grátis de ICM em www.holdemresources.net, mas também podem ser calculados com o ICM-Trainer da PokerStrategy.com, por exemplo. Podem ocorrer pequenas variações de 0,5% entre os dois programas o que faz com que às vezes até sejam diferentes por uma mão. No entanto, estas pequenas diferenças não são relevantes.

As tabelas que se seguem mostram uma visão geral. Para a versão que inclui antes, as antes são 10% da BB. Noutras estruturas, tais como na PokerStars (antes de cerca de 12,5% e 5% da BB, dependendo do nível) geram resultados ligeiramente diferentes. Se a estrutura for, por exemplo, de 5% da BB, podes tirar a média de ambas as tabelas.

Tabela 1 (sem ante):

Tabela 2 (com ante):

Cada ES tem a sua própria linha. Na coluna 2 podes encontrar o NPR correspondente (na SB) e na coluna 3 podes encontrar o NCR correspondente (na BB).

Aqui podes ver outra tabela, que basicamente contém a mesma informação, mas disposta de forma diferente. A vantagem desta tabela é que é mais sucinta. Uma vantagem da tabela de cima é que tu consegues entender melhor os ranges dos ESs individuais. Por exemplo, é mais fácil conseguires ver com quantas mãos fracas tu ainda podias fazer push ou o quão melhor teria de ser a tua mão para poderes fazer call.

Iremos agora ver melhor os REV reais dos NRs. Uma vez que o valor exacto não é importante para um jogo ideal, podes saltar esta parte, se assim o quiseres. A única coisa importante é escolher um range com o maior REV possível.

Primeiro de tudo, jogar uma mão em Texas Hold'em depois de ter pago as blinds deixa de ser um jogo de "soma-zero". Em síntese, tu podes ganhar as blinds mais a soma das perdas e ganhos do oponente. Apenas seria um jogo de "soma-zero" se nunca tivesses de pagar blinds. Neste cenário, contudo, só haveria uma forma razoável de jogar: nem sequer jogues ou faz apenas call ou push com AA. Não seria um jogo com grandes dilemas.

Nas secções "EV da mão e EV do range" e "O equilíbrio de Nash em HU" já pudeste ver que todas as mãos nos NRs são +HEV (ou 0HEV). Então o que significa a mão T8 no exemplo 3 ter um HEV de quase 0? Significa que irás ganhar perto de nada se fizeres push contra os 43% de range de call do teu oponente.

Vice-versa, isto significa que o range de call do teu oponente tem um REV de quase 1,5 BB se fizeres push com T8. Enquanto ele faz fold em 57% dos casos e não ganha fichas, ele tem de ganhar uma média de 1,5 BB / 43% = 3,5 BBs no resto dos casos. Logo, tu estarás a perder uma média de 3,5 - 1,5 BB = 2 BB se te fizerem call.

Claro que a situação melhora se tiveres AA em vez de T8. O teu push terá um HEV de cerca de 3,8 BB, composto por 1,5 BB dos 57% dos casos em que não recebeste call e dos 43% dos casos em que te fizeram call, com um EV de cerca de 6,9 BB.

Todas as outras mãos têm um EV entre 0 a 3,8 BBs.

Podias ir mais longe e calcular o REV tal como fizemos na fórmula (1). No entanto, isso seria um pouco aborrecido. Outra opção seria a de procurar o resultado no ICM Trainer da PokerStrategy.com: ICM-Trainer
A equity antes de colocadas as blinds é sempre basicamente igual à equity depois da mão (se ambos os oponentes tiverem a jogar segundo Nash). Para ES <7,5 BBs, o REV do SB é maior do que zero. Para ESs maiores, é maior do que zero, algo perto de 0,1 BB para ES = 15 a 20. Isto significa que o REV da SB é de 0,5 BBs e o REV da BB é de 1 BB. É interessante notar que, no que diz respeito ao EV na jogada push-ou-fold, não é minimamente relevante se estás na SB ou na BB na próxima mão.

Aplicação e modificação dos ranges de Nash

De que forma afectará o teu jogo se seguires os NRs à risca? Na secção "Ranges" já pudeste ver que o REV de um NR aumenta se o teu oponente se desviar do NR. Não existe forma dele empurrar o teu REV para baixo do valor que ele atinge se ele também estiver a jogar segundo Nash. É a isso que nos referimos quando dizemos que "Jogar de acordo com Nash não é explorável".

No entanto, numa situação de HU, apenas alguns dos teus oponentes jogarão estritamente de acordo com Nash. Apesar disso, se o teu oponente jogar com um range diferente, isto também significa um HEV diferente para as tuas mãos. Isto leva-nos à conclusão de que nem todas as mãos incluídas em NR serão obrigatoriamente +EV e que podem existir mãos de fora do NR que são +EV.

Vejamos alguns exemplos, sendo que em todos eles se verifica ES = 9. Logo, NPR = 59% e NCR = 43%. Faremos a distinção entre a posição que ocupas, se SB ou se BB, e se tens uma mão forte do teu NR, uma mão fraca do teu NR ou uma mão que não está incluída no teu NR. Para cada cenário observaremos a mudança no HEV (na BB) em correlação com o range do teu oponente. Mais informações acerca dos cálculos exactos poderão ser encontradas em anexo.

TU estás na SB com ES = 9.

• Caso 1: Mão forte do range de push de Nash:

• Caso 2: Mão fraca do range de push de Nash:

• Caso 3: Mão não incluída no range de push de Nash:

TU estás na BB com ES = 9.

• Caso 4: Mão forte do range de push de Nash:

• Caso 5: Mão fraca do range de push de Nash:

• Caso 6: Mão não incluída no range de push de Nash:

Os exemplos ilustram as seguintes tendências:

• Se tiveres uma mão forte e fizeres push, o teu HEV aumenta à medida que o Vilão te der calls mais loose.
• Se tiveres uma mão fraca e fizeres push, o teu HEV diminui à medida que o Vilão te der calls mais loose.
• Se fores tu a fazer call, o HEV aumenta à medida que o Vilão fizer push mais loose, independentemente de teres uma mão forte ou fraca.

Logo, se jogares sempre de acordo com Nash, estarás a cometer um erro nos seguintes casos:

• Erro 1: Caso 2, CR = 55% e CR = 70%: Estás a fazer um push -HEV
• Erro 2: Caso 3, CR = 20% e CR = 30%: Estás a deixar passar um push +HEV.
• Erro 3: Caso 5, PR = 25% e PR = 40%: Estás a fazer um call -HEV.
• Erro 4: Caso 6, PR = 70% e PR = 80%: Estás a deixar passar um call +HEV.

Nestes casos deves alterar o teu range.

Tal como explicado na secção "EV da mão e EV do range", tu vais querer fazer push ou call com aquelas mãos que são +HEV. Das tendências ilustradas no exemplo anterior, podemos definir os seguintes parâmetros para modificar os teus ranges (de acordo com os erros 1-4):

• Regra 1: Se o oponente for muito loose nos seus calls de acordo com Nash, deves evitar fazer push com algumas das mãos mais fracas do NPR. Com estas mãos fracas, o teu push poderá ser -HEV.
• Regra 2: Se o oponente for muito tight nos seus calls de acordo com Nash, podes acrescentar ao range algumas mãos mais fracas que ainda não estejam incluídas no teu NPR. Caso contrário, poderás perder a oportunidade de fazer alguns push +HEV.
• Regra 3: Se o oponente for muito tight nos seus push de acordo com Nash, deves evitar fazer call com algumas das mãos mais fracas no CR de Nash. Com estas mãos fracas, o teu call poderá ser -HEV.
• Regra 4: Se o oponente for muito loose nos seus push de acordo com Nash, podes acrescentar ao range algumas das mãos mais fortes que ainda não estão incluídas no teu NCR. Caso contrário, poderás perder a oportunidade e fazer alguns calls +HEV.

Geralmente, será mais frequente que enfrentes oponentes que são demasiado tight (casos 2 e 4) do que o raro cenário de regulares que jogam estritamente de acordo com Nash ou oponentes que estão em tilt, por exemplo, e que fazem push e call ainda mais loose de acordo com Nash (casos 1 e 3).

É por isso que os seguintes ranges são aplicáveis a um jogo padrão contra jogadores desconhecidos: Faz push aproximadamente de acordo com Nash. Faz call um pouco mais tight do que farias de acordo com Nash até que estejas convencido de que o oponente faça push no mínimo de acordo com Nash.

Se estiveres a fazer push e call tight demais contra um jogador que é demasiado tight, terás a seguinte vantagem: diminuis a probabilidade de que haverá uma corrida. Isto aumenta a duração média do jogo e terás mais tempo para lucrar com a falha do teu oponente.

Tu tens 2.800 fichas, o teu oponente tem 10.700, o nível de blinds é 250/500 e estás na SB. Nas seguintes sete mãos tu conseguiste fazer três vezes push com sucesso, fizeste fold uma vez e sempre que o teu oponente está na SB, ele dá-te a blind. Tens agora 6.550 fichas, o teu oponente tem 6.950 e o nível de blinds aumenta para 300/600. O oponente faz push com ES = 11. Em vez do NPR de 54% tu atribuis-lhe apenas uns consideravelmente tight 28% e questionas-te se deverias dar call com A7. De acordo com o ICM Trainer, o call seria ligeiramente +EV. No entanto, o teu oponente mostra uma enorme falha sob forma de ranges muito tight. Tu deves por isso fazer fold para que possas continuar a lucrar disto.

Para resumir, o jogo de acordo com Nash mostra os seguintes traços:

• Obténs um REV positivo.
• O REV irá crescer se o teu oponente se desviar dos NRs.

Mas:

• O teu REV já não é o ideal.
• Algumas mãos até poderão ser -HEV.

Deves por isso ajustar os ranges. Se tu jogares apenas uma mão contra o oponente, tu certamente não queres que ela seja -HEV, mesmo sendo o REV positivo.

Situações fora do heads-up

Muitos dos resultados anteriores podem facilmente ser aplicados a situações fora do HU, a não ser que o efeito do ICM esteja presente. Este é o caso dos cash games ou de MTT's e Sit & Go's no formato "o vencedor leva tudo".

Em geral, também podes calcular composições NR para 3-10 jogadores, usando a calculadora ICM ou o ICM Trainer. As regras de modificação acima descritas continuarão a ser válidas neste contexto.

BU = 3200, SB = BB = 5000, BL é 200/400. O primeiro jogador ganha um bilhete de entrada, os restantes não.

A calculadora ICM dá os seguintes NRs:

Isto significa que também podes fazer push com k4s do botão, por exemplo, a não ser que coloques pelo menos um dos oponentes num range de call mais loose sem colocar o outro num range mais tight. Para ser mais preciso: sem colocar o outro num range que seja tão tight que compense bastante o range loose do outro jogador. Neste caso deves seguir a regra 1, ou seja, sê mais tight nos teus push e não faças push com k4s.

Mais interessantes são as situações em que o efeito do ICM ou o factor bolha (BF) é maior do que 0,5. Estas são situações em que as fichas ganhas valem menos do que as fichas perdidas. A seguinte equação aplica-se aqui:

BF= $ valor (stack) / $ valor (2*stack).

Em situações de HU o factor bolha é por isso de 0,5, sendo que em situações extremas possa aproximar-se de 1. Exemplos típicos de situações com um alto factor bolha são a mesa final de um MTT, um jogador mesmo antes de estar a ganhar o bilhete de entrada ou a bolha num Sit & Go.

Vamos agora analisar mais de perto a bolha de um Sit & Go. As conclusões apresentadas poderão depois ser aplicadas às outras duas situações. Neste exemplo 8, acrescentamos um jogador no CO com uma pequena stack.

CO = 1.800, BU = 3.200, SB = BB = 5.000, BL é 200/400. CO fold.

Obtemos os seguintes NRs:

A primeira que coisa que notas é que os NRs ficaram mais tight. Isto nem sempre tem de ser assim. Se, por exemplo, tu estiveres a jogar com uma grande stack, é bem possível que os teus NPRs sejam maiores do que quando comparados com a situação "sem efeito do ICM". O que acontece se estiveres na SB e estiveres a ponderar fazer push, a BB for um fish que nunca ouviu falar de ICM e faz calls demasiado loose com, digamos, 10% das suas mãos?

Inicialmente o teu push com mãos fracas do range tornar-se-á novamente -HEV, mas o efeito do ICM poderá agora levar-nos ao seguinte:

O REV do teu NR poderá diminuir caso o teu oponente se desvie do seu NR.

Isto acontece porque os outros 2 jogadores lucram se a BB te fizer call muito loose. Isto significa que a BB tem um REV consideravelmente mais baixo com o seu CR de 10% do que com o NCR, mas o seu REV também poderá ser reduzido.

Se tu não ajustares os NRs, o teu REV poderá ficar ainda mais negativo.

Assim sendo, as regras de modificação da secção 4.2 terão elas próprias de ser alteradas, de acordo com as seguintes regras:

• Regra 1: Quanto mais restrito for o range, maior será o BF.
• Regra 2: Quanto menor for o range, maior será o BF.
• Regra 3: Quanto mais restrito for o range, maior será o BF.
• Regra 4: Quanto menor for o range, maior será o BF.

Anexo

Nos exemplos 3-5, o HEV é dado em BBs. Tu podes utilizar o programa SNG Wizard para calcular: Primeiro escolhes as stacks e as blinds de uma forma que possas escolher o desejado ES. Com um ES de 9, por exemplo, escolhes blinds de 300/600, SB = 5.400 e BB = 9.600. Depois escolhes uma mão específica para a SB, um CR para a BB e consegues a diferença de equity. Para converter isto em BB, terás de multiplicar este resultado por:

  Todas as fichas na mão (em BBs) / 20

No caso de cima, seria um factor de 25/20 = 1,25.

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