GTO-Pokertheorie: Das Ziegenproblem
Wir präsentieren einen verblüffenden Trugschluss aus der Welt des Zufalls, der euer Verständnis der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf die Probe stellen wird.
Wer sich für Poker interessiert, bekommt zwangsläufig auch Einblicke in andere Wissens- und Themenfelder wie Wirtschaft, KI, Psychologie und Spieltheorie. Daher gibt es eine neue Artikelreihe, bei der wir einige der wichtigsten Themen abdecken, die auch Anwendung beim Spiel finden, das wir alle kennen und lieben.
Das Ziegenproblem oder auch Monty-Hall-Problem ist nach dem Moderator der Show "Let's Make a Deal" benannt. Das deutsche Pendant der Gameshow "Geh aufs Ganze" wird einigen noch ein Begriff sein. Bei diesem Problem wird ein Kandidat gebeten, eine von drei Türen zu wählen. Hinter einer Tür verbirgt sich ein wertvoller Preis, während hinter den anderen beiden Türen eine Niete, in diesem Fall eine Ziege wartet. Nachdem der Kanidat seine Wahl getroffen hat, öffnet der Moderator eine der nicht gewählten Türen und enthüllt eine Ziege. Nun bekommt der Kandidat die Möglichkeit, die Wahl seiner Tür zu ändern oder bei seiner ursprünglichen Wahl zu bleiben.
Die Kernfrage lautet, ob der Kandidat bei seiner ursprünglichen Wahl bleiben sollte oder zu der verbliebenen Tür wechseln sollte. Aus dem Bauch heraus scheinen die Chancen bei 50/50 zu stehen, da noch zwei Türen verbleiben, sich jedoch nur hinter einer der Preis verbirgt. Die richtige Lösung ist aber, die Wahl der Tür zu ändern, denn so steigt die Gewinnchance auf 2/3.
Der Grund für das kontraintuitive Ergebnis ist, dass die vom Moderator bereitgestelle Information die Wahrscheinlichkeit verändert, dass sich der Preis hinter der ursprünglich gewählten Tür verbirgt. Bevor der Moderator eine Tür öffnet, stehen die Chancen des Kandidaten den Preis zu gewinnen bei 1/3, unabhängig welche Tür er gewählt hat. Sobald der Moderator eine Tür mit einer Ziege öffnet, liefert er dem Kandidaten eine Zusatzinformation. Gruppiert man die Auswahlmöglichkeiten, wird es deutlich. Die ursprügliche Wahl der Tür führt mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 zum Gewinn, während sich der Preis mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 hinter den anderen beiden Türen verbirgt. Wechselt der Kandidat seine Wahl nicht, bleibt seine Gewinnchance bei 1/3. Wird nun aber eine der verbliebenen Türen geöffnet und eine Ziege offenbart, erhöht sich die Gewinnchance beim Wechsel von 1/3 auf 2/3, da nur noch eine verbliebene Tür übrig ist. Die Chance bei der ursprünglichen Wahl bleibt konstant bei 1/3. Daraus folgt, dass die Gewinnchance der einzigen verbliebenen Tür bei 2/3 liegt.
Abtauchen in das Ziegenproblem bei Wikipedia
Substitution durch Variablenänderung
Ein gutes Beispiel für eine Substitution durch Änderung von Variablen liefert folgende Filmszene aus dem Blockbuster "21", der sich um das berüchtigte Kartenzählen beim Blackjack dreht:
Mein Lieblingsbeispiel des Ziegenproblems stammt jedoch aus einer Szene der bekannten Comedyserie "Brooklyn Nine-Nine":
Erkenntnisse aus der Welt der Wahrscheinlichkeiten
In dieser Artikelreihe besteht mein Anliegen stets darin, interdisziplinäre Anwendungsmöglichkeiten für das Pokerspiel zu finden, was in diesem Fall ausnahmsweise nicht möglich ist.
Zwar wurde schon oft versucht, das Ziegenproblem auf Poker zu übertragen, vor allem bei dem Vergleich der Odds eines Flushdraws auf Flop und Turn. Allerdings konnte nie eine wirklich sinnvolle Parallele hergestellt werden.
Meiner Meinung nach liefert das Verständnis des Ziegenproblems für Pokerspieler dennoch einen Mehrwert – und zwar für den besseren Umgang mit der oft kontraintuitiven Welt der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Vielleicht gibt es eines Tages ein Mystery Bounty, bei dem der Dealer einen vor die Wahl stellt, den Umschlag zu wechseln. Bis dahin wünsche ich euch viel Spaß beim Kopfzerbrechen, auch wenn das Ziegenproblem keinen direkten Bezug zu Poker hat, hilft es dennoch, der verzwickten Wahrscheinlichkeitsrechnung auf die Schliche zu kommen.
Welche Theorien, die nicht aus der Pokerwelt stammen, haben eurem Spiel besonders geholfen? Wir freuen uns auf eure Kommentare!
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